C05 : Modéliser des actions mécaniques

Frottement sec : Lois de Coulomb

Cas du contact ponctuel

Soient deux solides et en contact ponctuel en un point . L'action mécanique exercée par le solide sur le solide se modélise par un glisseur de résultante tel que :

  • Dans le cas d'un contact sans frottement,  la résultante est purement normale et orientée de vers .

  • Dans le cas d'un contact avec frottement, se décompose en une composante normale (correspondant à dans un cas sans frottement) et en une composante tangentielle qui comme son nom l'indique est contenue dans le plan tangent commun :

    La composante tangentielle permet donc de modéliser le phénomène de frottement. Les lois de Coulomb énoncent les caractéristiques de cet effort tangentiel (direction, sens norme) en distinguant deux cas :

    • Glissement : il existe un mouvement relatif entre les deux solides.

    • Adhérence : il existe éventuellement une tendance au mouvement, mais il n'y a aucun mouvement relatif entre les pièces.

Cas du glissement

FondamentalLois de Coulomb relatives au glissement (contact ponctuel)

Par définition, il y a glissement si la vitesse de glissement est non nulle :

1. \quad \overrightarrow{T}_{ 2\rightarrow 1} \text{ est }\textbf{colinéaire}\text{ à la vitesse de glissement, et de }\textbf{sens opposé : } \boxed{\, \overrightarrow{T}_{ 2\rightarrow 1}\wedge\overrightarrow{V}_{I, 1/ 2}=\vec{0}} \text{ et } \boxed{\, \overrightarrow{T}_{ 2\rightarrow 1}.\overrightarrow{V}_{I, 1/ 2}<0} \, \\ \\ 2.\quad \Vert \overrightarrow{T}_{ 2\rightarrow 1} \Vert \text{ proportionnelle à } \Vert \overrightarrow{N}_{ 2\rightarrow 1} \Vert \, : \, \boxed{\, \Vert \, \overrightarrow{T}_{ 2\rightarrow 1} \, \Vert = f\, \Vert \, \overrightarrow{N}_{ 2\rightarrow 1} \, \Vert \, }\quad  \text{avec } f \textbf{: coefficient de frottement}\\ \\ 3. \quad \overrightarrow{F}_{ 2\rightarrow 1} \text{ est }\textbf{sur le cône de frottement}\text{ de demi angle au sommet } \varphi \text{ tel que : } \boxed{ \,f=\tan \varphi \,} \quad  \text{avec } \varphi \textbf{: angle de frottement}
Remarque

Les lois de Coulomb énoncées ci-dessus dans le cas du glissement peuvent être réunies dans l'expression de la composante tangentielle :

\overrightarrow{T_{ 2\rightarrow 1}} = - f \, \Vert \, \overrightarrow{N_{ 2\rightarrow 1}} \, \Vert \, \frac{\overrightarrow{V}_{I,1/2} }{\Vert\overrightarrow{V}_{I,1/2} \, \Vert}

Cas de l'adhérence

FondamentalLois de Coulomb relatives à l'adhérence (Point de vue global)

Par définition, il y a adhérence si la vitesse de glissement est nulle :

1. \quad \overrightarrow{T}_{ 2\rightarrow 1} \textbf{ s'oppose à la tendance au mouvement}\text{ de } I \in 1/2 \\ \\ 2.\quad \, \boxed{\, \Vert \, \overrightarrow{T}_{ 2\rightarrow 1} \, \Vert \leq f_0\, \Vert \, \overrightarrow{N}_{ 2\rightarrow 1} \, \Vert \quad }\quad \text{avec }f_0\textbf{ : coefficient d'adhérence}\\ \\ 3. \quad \overrightarrow{F}_{ 2\rightarrow 1} \text{ est }\textbf{à l'intérieur du cône d'adhérence}\text{ de demi angle au sommet } \varphi_0 \text{ tel que : } \boxed{ \,f_0=\tan \varphi_0 \,} \quad  \text{avec } \varphi_0 \textbf{: angle d'adhérence}

Cas de l'équilibre strict - Limite du glissement

L'équilibre strict correspond au cas d'adhérence limite pour lequel et se situe sur le cône d'adhérence ( ). Dans ce cas d'adhérence, à la limite du glissement, on a :

\boxed{\quad \Vert \, \overrightarrow{T}_{ 2\rightarrow 1} \, \Vert= f_0 \, \Vert \, \overrightarrow{N}_{ 2\rightarrow 1} \, \Vert \quad }\quad
Remarque
  • Dans le cadre des problèmes de statique avec prise en compte du frottement, on se placera à la limite du glissement afin d'avoir une expression de la composante tangentielle grâce aux lois de Coulomb.

  • Quand le système est en équilibre strict, si on cherche à augmenter il y a immédiatement glissement, et se positionne alors sur le cône de frottement.

  • Le demi-angle au sommet du cône d'adhérence est légèrement supérieur à celui du du cône de frottement (dans le cas du glissement). Ainsi, l'effort tangentiel le plus grand s'obtient lorsque l'on se trouve sur le cône d'adhérence : à l'équilibre stricte.

Cas du contact surfacique

Dans le cas d'un contact surfacique, il faut tout d'abord modéliser le phénomène de frottement d'un point de vue local.

Dans le cas général d'un contact surfacique entre solides avec frottement, la force élémentaire en un point  : se décompose en une composante normale au plan tangent commun au contact (orientée de 2 vers 1 pour ne pas rompre le contact) et en un composante tangentielle qui comme son nom l'indique est contenue dans ce plan tangent.

\overrightarrow{dF_{ 2\rightarrow 1}}=\overrightarrow{dN_{ 2\rightarrow 1}}+\overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}}

Les lois de Coulomb énoncent cette fois-ci les caractéristiques de l'effort tangentiel élémentaire (direction, sens norme) en distinguant toujours le glissement et l'adhérence.

Cas du glissement

FondamentalLois de Coulomb relatives au glissement (Point de vue local)

Par définition, il y a glissement si la vitesse de glissement est non nulle :

  1. La composante tangentielle est colinéaire à la vitesse de glissement et s'oppose à la vitesse de glissement : et

  2. La norme de la composante tangentielle est proportionnelle à celle de l'effort normal : , avec f : coefficient de frottement

  3. Interprétation graphique : l'action mécanique élémentaire se situe sur le cône de frottement de demi angle au sommet tel que : .

    ( : angle de frottement)

Remarque

Les lois de Coulomb énoncées ci-dessus dans le cas du glissement peuvent être réunies dans l'expression de la composante tangentielle de l'effort élémentaire :

\overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}(M)} = - f \, \Vert \, \overrightarrow{dN_{ 2\rightarrow 1}(M)} \, \Vert \, \frac{\overrightarrow{V}_{M,1/2} }{\Vert\overrightarrow{V}_{M,1/2} \, \Vert}

Cas de l'adhérence

FondamentalLois de Coulomb relatives à l'adhérence (Point de vue local)

Par définition, il y a adhérence si la vitesse de glissement est nulle :

  1. La composante tangentielle s'oppose à la tendance au mouvement de .

  2. , avec  : coefficient d'adhérence

  3. Interprétation graphique : l'action mécanique élémentaire se situe à l'intérieur du cône d'adhérence de demi angle au sommet tel que .

    Ainsi, dans le cas de l'adhérence (voir figure ci-dessous).

RemarqueÉquilibre stricte

L'équilibre strict correspond au cas d'adhérence limite pour lequel et se situe sur le cône d'adhérence ( ). Dans ce cas d'adhérence, à la limite du glissement, on a :

\boxed{\quad \Vert \, \overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}(M)} \, \Vert= f_0 \, \Vert \, \overrightarrow{dN_{ 2\rightarrow 1}(M)} \, \Vert \quad }\quad

Point de vue global

Comme évoqué en partie V.2.2, le passage du modèle local au modèle global s'effectue par intégration :

\boxed{\quad \{ \mathcal T_{2 \rightarrow 1} \} = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc} \overrightarrow{F_{2\rightarrow 1}} \\ \overrightarrow{M_{I} (2\rightarrow 1)} \end{array}\right\}}} _{I} \left \{ \begin{array}{c} \overrightarrow{F}_{2\rightarrow 1} =\displaystyle\iint_{S} \overrightarrow{dF_{ 2\rightarrow 1}(M)}\\ \overrightarrow{M}_{I, \,2\rightarrow 1}=\displaystyle\iint_{S} \overrightarrow{IM}\wedge \overrightarrow{dF_{ 2\rightarrow 1}(M)} \end{array} \right \} \quad}

La résultante du torseur des actions mécaniques transmissible obtenu se décompose alors en une composante normale et une composante tangentielle .

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