Annexe 3 : Décomposition en éléments simples
Attention :
Ce qui suit n'est pas un cours de mathématique complet sur la décomposition des fractions rationnelles. Il s'agit simplement de quelques propriétés utiles dans le cadre des transformations de Laplace. Les démonstrations ne sont ni triviales, ni difficiles, ni intéressantes en S.I.
Les fractions rationnelles que nous étudions sont de la forme
où :
et
sont des polynômes.Le degré de
est toujours inférieur à celui de
.On appelle zéros d'une fraction rationnelle les racines du numérateur.
On appelle pôles d'une fraction rationnelle les racines du dénominateur.
Cas 1 : les pôles sont réels et simples (pas de racine double de D(p))
La fraction peut alors s'écrire :
Fondamental :
La fraction F(p) peut se décomposer en éléments simples :
La détermination d'un résidu
s'effectue en multipliant l'expression de
(fraction rationnelle sous la forme
) par le terme
et en posant
:
![\boxed{ \,\, A_i=\left[ \frac {N(p)} {D(p)} \times (p-p_i)\right]_{p=p_i} \, }](../res/DES_2.png)

Exemple :
Décomposons en éléments simples la fraction suivante :
Le polynôme
admet deux racines réelles :
et
.
Il peut donc se factoriser sous la forme :
On cherche donc à décomposer
sous la forme :
Recherche des résidus
et
:
Conclusion :

Cas 2 : il existe un pôle double (= racine double de D(p)), ici p1
La fraction peut alors s'écrire :
Fondamental :
La fraction F(p) peut se décomposer en éléments simples :
La détermination des résidus
correspondant à des pôles simples (tous sauf
et
} s'effectue en utilisant la méthode présentée précédemment.Pour déterminer
, on multiplie l'expression de
(fraction rationnelle sous la forme
) par le terme
et on pose
: Pour déterminer
, on multiplie les deux expressions de
(fraction rationnelle et décomposition en éléments simples) par
et on fait tendre
vers
.
Exemple :
Décomposons en éléments simples la fraction suivante :
possède donc un pôle réel simple (
) et un pôle double (
)
On cherche donc à décomposer
sous la forme :
avec :
se détermine avec la méthode vue précédemment :
Pour trouver
, on multiplie l'expression de
par le terme
et on pose
:
Enfin, pour déterminer
, on multiplie les deux expressions de
par
et on fait tendre
vers
.
On trouve ainsi :
Conclusion :



Cas 3 : il existe des pôles complexes (= racine double de D(p))
La fraction peut alors s'écrire :
Fondamental :
La fraction F(p) peut se décomposer en éléments simples :
La détermination du résidu
correspondant à un pôle simple s'effectue en utilisant la méthode correspondant au cas 1.Pour déterminer
, on multiplie les deux expressions de
(fraction rationnelle et décomposition en éléments simples) par
et on fait tendre
vers
.Pour déterminer
, on pose
dans les deux expressions de
(fraction rationnelle et décomposition en éléments simples) :
![\boxed{ \,\, A_1=\left[ \frac {N(p)} {D(p)} \times (p-p_1)\right]_{p=p_1} \, } \quad \boxed{ \,\, A_1+\frac {A_2} a=\lim\limits_{p\rightarrow +\infty }\left[ p.\frac {N(p)} {D(p)} \right] \, } \quad \boxed{ \,\, \frac {A_1}{-p_1}+\frac {A_3} c=\left[ \frac {N(p)} {D(p)} \right]_{p=0} \, } \quad](../res/DES_6.png)
Exemple :
Décomposons en éléments simples la fraction suivante :
possède donc un pôle réel simple (
) et deux pôle complexes conjugués (
et
)
On cherche donc à décomposer
sous la forme :
se détermine toujours avec la méthode vue précédemment dans le cas d'un pôle simple :
Pour trouver
, on multiplie les deux expressions de
par
et on fait tendre
vers
:
Soit :
Enfin, pour trouver
, on pose
dans les deux expressions de
:
Conclusion :







