## Bases de numération

Les systèmes logiques ne traitant que des variables binaires, toute information devant être traitée par l'unité de commande doit être transcrite sous forme binaire : on parle de codage.

Le résultat du traitement étant en binaire, il faut le retranscrire dans le format d'origine exploitable par l'homme : on parle alors de décodage.

Ainsi, l'étude et la réalisation des chaînes d'informations des systèmes logiques nécessitent la connaissance des bases de numération et des techniques de changement de base.

### Ecriture dans une base

Dans une base \(n\), un nombre est représenté par la juxtaposition de symboles appelés digits pouvant prendre \(n\) valeurs entières possibles, de \(0\) à \(n-1\).

\[K= a b c d _{(n)}, \quad \textrm{avec} \quad a,b,c\ \textrm{et } d\ \in [\![0;n-1]\!] \]

#### Remarque :

- En base décimale (\(n=10\)), les 10 symboles (ou chiffres) utilisés sont : 0,1, 2, ..., 8, 9 et on ne met pas l'indice de la base. Au lieu d'écrire \(1234_{(10)}\) on note simplement \(1234\).

- En base binaire (\(n=2\)), 0 ou 1 (logique !). Exemple : \(101_{(2)}\) ; lire "un", "zéro", "un".

- Au delà de la base 10 (\(n>10\)), les chiffres de 0 à 9 ne suffisent plus. On utilise alors les lettres A, B, ... Ainsi dans une autre base couramment utilisée, la base hexadécimale, on utilise 16 symboles, de 0 à 9 puis de A à F. Exemple :\(A98F_{(16)}\).

### Conversion d'une base n vers la base décimale :

#### Fondamental : Principe d'écriture des bases

Pour exprimer un nombre en base décimale, on utilise le principe d'écriture des bases :

\[\boxed{\;abcd_{(n)}=a\times n^3+b\times n^2+c\times n^1+d\times n^0 \; }\quad \text{ avec } n\in \mathbb{N}^* \text{ et } \textit{a, b, c, d} \in [\![0;n-1]\!] \]

#### Exemple :

En base (10) : \(1234 = 1\times 10^3+2\times10^2+3\times10^1+4\times10^0\)

En base (7) : \(1234_{(7)}=1\times7^3+2\times7^2+3\times7^1+4\times7^0=466\)

En base (16) : \(1234_{(16)}=\$1234 = 1\times16^3+2\times16^2+3\times16^1+4\times16^0=4660\)