Théorème des actions réciproques (ou mutuelles)
Fondamental : Théorème des actions réciproques
Quels que soient les solides \(S_1\) et \(S_2\) en équilibre, le torseur des actions mécaniques exercées par \(S_1\) sur \(S_2\) est l'opposé du torseur des actions mécaniques exercées par \(S_2\) sur \(S_1\) :
Preuve :
Soit \(S\) un système matériel à l'équilibre dans \(R_g\) supposé galiléen, composé de deux sous-systèmes \(S_1\) et \(S_2\) (également à l'équilibre).
L'équilibre des systèmes \(S\), \(S_1\) et \(S_2\) s'écrit :
\(\left \{ \begin{array}{l} \left \{ \mathcal T_{\overline S \rightarrow S} \right \}=\{0\} \\ \left \{ \mathcal T_{\overline{S_1} \rightarrow S_1} \right \} =\{0\}\\ \left \{ \mathcal T_{\overline{S_2} \rightarrow S_2}\right \}=\{0\} \end{array} \right.\)
En additionnant les deux dernières équations d'équilibre, il vient : \(\left \{ \mathcal T_{\overline{S_1} \rightarrow S_1}\right \}+\left \{ \mathcal T_{\overline{S_2} \rightarrow S_2}\right \}=\{0\}\)
Or \(\left \{ \mathcal T_{\overline{S_1} \rightarrow S_1}\right \}=\left \{ \mathcal T_{\overline{S} \rightarrow S_1}\right \}+\left \{ \mathcal T_{S_2 \rightarrow S_1}\right \}\) et \(\left \{ \mathcal T_{\overline{S_2} \rightarrow S_2}\right \}=\left \{ \mathcal T_{\overline{S} \rightarrow S_2}\right \}+\left \{ \mathcal T_{S_1 \rightarrow S_2}\right \}\)
Ainsi, \(\underbrace{\left \{ \mathcal T_{\overline{S} \rightarrow S_1}\right \}+\left \{ \mathcal T_{\overline{S} \rightarrow S_2}\right \}}_{=\left \{ \mathcal T_{\overline S \rightarrow S} \right \}=\{0\} \quad \text{ car S est en équilibre}}+\left \{ \mathcal T_{S_2 \rightarrow S_1}\right \}+\left \{ \mathcal T_{S_1 \rightarrow S_2}\right \}=\{0\}\)
D'où le résultat : \(\quad \left \{ \mathcal T_{S_2 \rightarrow S_1} \right \}=-\, \left \{ \mathcal T_{S_1 \rightarrow S_2}\right \}\)