## Cas particulier des problèmes plans

### Simplification plane

#### Fondamental : Simplification plane

Si le système étudié admet un plan de symétrie géométrique qui est aussi plan de symétrie pour les actions mécaniques extérieures (symétrie de charge), on dit que le problème est plan.

La simplification plane nous conduit à résoudre un problème dans lequel :

- les forces sont contenues dans le plan de symétrie,

- les moments sont perpendiculaires au plan de symétrie.

#### Exemple : Cas d'un véhicule en équilibre

- le plan \((O,\vec x, \vec y)\) est un plan de symétrie géométrique du véhicule,

- les efforts \((\overrightarrow F_1,\overrightarrow F_1', etc.)\) sont symétriques par rapport à ce plan.

On peut donc supposer que le problème est plan dans le plan \((O, \vec x, \vec y)\) et se ramener au cas de la figure de droite. Attention tout de même dans les calculs à tenir compte du fait que les efforts \(\overrightarrow F_{0 \rightarrow avant}\) et \(\overrightarrow F_{0 \rightarrow arriere}\) correspondent aux efforts cumulés exercés par le sol respectivement sur les roues avant et arrières :

\[\overrightarrow F_{0 \rightarrow avant}=\overrightarrow F_1+\overrightarrow F_1'=2 \, \overrightarrow F_1 \quad \quad \text{et} \quad \quad \overrightarrow F_{0 \rightarrow arriere}=\overrightarrow F_2+\overrightarrow F_2'= 2 \, \overrightarrow F_2\]

#### Fondamental : Conséquences

Dans le cas d'un problème plan dans le plan \((O,\vec x, \vec y)\), tous les torseurs des A.M s'écrivent sous la forme suivante :

\[\boxed{ \,\left \{ \mathcal T_{i \rightarrow j} \right \} = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc} \overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\ \overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)} \end{array}\right\}}} _{P} \left \{ \begin{array}{c} \overrightarrow{R}_{i \rightarrow j } \\ \overrightarrow{M}_{P,\, i \rightarrow j } \end{array} \right \} = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc} \overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\ \overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)} \end{array}\right\}}} _{P} \left \{ \begin{array}{c} X_{ij}\,\vec x +Y_{ij}\,\vec y\\ N_{ij}\,\vec z \\ \end{array} \right \} = {\vphantom{ \left \{ \begin{matrix} X_{21} & L_{21} \\ Y_{21} & M_{21} \\ Z_{21} & N_{21} \\ \end{matrix} \right \} }} _{P} \left \{ \begin{matrix} X_{ij} & \phi \\ Y_{ij} & \phi \\ \phi & N_{ij} \\ \end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)} \quad, \forall P\in (O,\vec x, \vec y) \, }\]

- Les composantes \(X_{ij}\), \(Y_{ij}\) et \(N_{ij}\) peuvent éventuellement être nulles.

- Les composantes \(Z_{ij}\), \(L_{ij}\) et \(M_{ij}\) sont nécessairement nulles du fait du problème plan dans le plan \((O,\vec x, \vec y)\).

#### Remarque : Résolution

L'application du PFS dans le cadre d'un problème plan donne 3 équations à résoudre :

- 2 équations provenant du Théorème de la Résultante Statique (projection de l'égalité vectorielle sur chacun des 2 axes du plan de la feuille)

- 1 équation provenant du Théorème du Moment Statique (projection sur l'axe perpendiculaire au plan de la feuille).

En projetant cette équation vectorielle dans le repère spatial associé au référentiel, on obtient 3 équations scalaires.

#### Exemple : Bride hydraulique

En considérant le problème plan dans le plan \((O,\vec x,\vec y)\), on peut simplifier les torseur de chacune des actions mécaniques extérieures à la bride 1:

- action mécanique du piston 2→ 1 :

  \(\{ \mathcal T_{2 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{A}\left \{ \begin{matrix} -X_{21} & 0 \\0 & 0 \\0& 0 \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{O}\left \{ \begin{matrix} -X_{21}& 0 \\0 & 0 \\0& X_{21}.d_A\\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)},X_{21}>0\) (pas de modification)

- action mécanique de 3 → 1 :

  \(\{ \mathcal T_{3 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{B}\left \{ \begin{matrix}0 & 0 \\Y_{31} & 0 \\0& 0 \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{O}\left \{ \begin{matrix}0 & 0 \\Y_{31} & 0 \\0& -Y_{31}.d_B \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)}, Y_{31}>0\) (pas de modification)

- action mécanique de 4 → 1 :

  \(\{ \mathcal T_{4 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{E}\left \{ \begin{matrix}-X_{41}& 0 \\0 & 0 \\0& 0 \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec u, \vec v, \vec z \right)}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{O}\left \{ \begin{matrix}-X_{41}\cos(\alpha) & 0 \\-X_{41}\sin(\alpha) & 0\\0&-X_{41}.d_E \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)},X_{41}>0\) (pas de modification)

- action mécanique du bâti 0→ 1 en O :

  \(\{ \mathcal T_{0 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\- & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{O}\left \{ \begin{matrix}X_{01}& \phi \\Y_{01} & \phi \\\phi & 0 \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)}\)

Théorème de la résultante statique appliqué à la bride 1 :

Si \(1\) est en équilibre dans le référentiel \(\mathcal{R}(O,\vec x, \vec y \vec z)\) supposé galiléen, alors :

\[\overrightarrow{R}_{\overline 1\rightarrow 1 } = \vec 0 \quad \Leftrightarrow \quad \overrightarrow{A}_{2\rightarrow 1 } +\overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 } +\overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1 } +\overrightarrow{O}_{0 \rightarrow 1 }=\vec 0 \\ \]

Par projection dans la base \((\vec x, \vec y, \vec z)\) liée à \(\mathcal{R}\), on obtient :

\[\left\{ \begin{array}{l} /\vec x\, : \quad -X_{21}-X_{41}\cos(\alpha) +X_{01} =0 \\ /\vec y\, : \quad Y_{31}-X_{41}\sin(\alpha)+Y_{01}=0 \\ /\vec z\, : \quad 0 =0 \end{array} \right. \]

Théorème du moment statique appliqué à la bride 1 en O :

Si \(1\) est en équilibre dans le référentiel \(\mathcal{R}(O,\vec x, \vec y, \vec z)\) supposé galiléen, alors :

\[\overrightarrow{M}_{O,\overline 1\rightarrow 1 } = \vec 0 \, \Leftrightarrow \quad\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{A}_{2 \rightarrow 1}\right)+\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 }\right)+\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1}\right)+\overrightarrow{M}_{O, 0\rightarrow 1 }=\vec0\]

Par projection dans la base \((\vec x, \vec y, \vec z)\) liée à \(\mathcal{R}\), on obtient :

\[\left\{ \begin{array}{l} /\vec x\, : \quad 0=0 \\ /\vec y\, : \quad 0=0 \\ /\vec z\, : \quad X_{21}.d_A -Y_{31}.d_B-X_{41}.d_E=0 \end{array} \right.\]

Conclusions :

- L'équation issue du TMS appliqué à la bride 1 en O nous donne une relation entrée-sortie en effort. On peut ici donner l'expression de l'effort recherché du vérin sur la bride en fonction de l'effort de serrage \(F_{mini}=Y_{31}\) imposé en B :

\[\boxed{X_{21} = \frac {F_{mini}.d_B+ X_{41}.d_E}{d_A}} \quad \quad (\text{dépend aussi de l'effort }X_{41} \text{induit par l'action du ressort 5 sur 4})\]

- On remarque que les équations issue du TRS appliqué à la bride 1 permettent de déterminer les inconnues de liaison en O : \(X_{01}\) et \(Y_{01}\). Ces données permettraient par exemple, dans le cadre d'une étude de conception de choisir et de dimensionner les composants participant à la réalisation de la liaison pivot d'axe \((O,\vec z)\).

### Cas d'un solide en équilibre soumis à deux glisseurs - Conséquences graphiques

Soit \(S\) un système matériel soumis à deux glisseurs :

- de la part d'un solide \(S_1\) appliqué au point A :\(\quad\{ \mathcal T_{S_1 \rightarrow S} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{A}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{A}_{S_1\rightarrow S} \\\vec 0\end{array} \right \}\)

- de la part d'un solide \(S_2\) appliqué au point B :\(\quad\{ \mathcal T_{S_2 \rightarrow S} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{B}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{B}_{S_2\rightarrow S} \\\vec 0\end{array} \right \}\)

Si \(S\) est en équilibre dans un référentiel \(R_g\) supposé galiléen, alors :

- Par application du théorème de la résultante statique à \(S\) :

  \(\overrightarrow{A}_{S_1\rightarrow S}+\overrightarrow{B}_{S_2\rightarrow S}=\vec 0\)

  Ainsi, les résultantes des deux glisseurs ont même direction, même norme et sont de sens opposés.

- Par application du théorème du moment statique à \(S\) au point \(A\) :

  \(\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{A}_{S_1 \rightarrow S}\right)+\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\right)=\vec 0 \quad (*)\)

  Or \(\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{A}_{S_1 \rightarrow S}\right)= \vec 0\) et \(\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\right)=\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\)

  Donc \((*) \, \Leftrightarrow \, \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S} = \vec 0\)

\(\overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\) et \(\overrightarrow{AB}\) étant supposés non nuls, \(\overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\) est donc colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\). De plus, comme \(\overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\) s'applique au point B, on en déduit alors que \(\overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\) a pour support la droite \((AB)\).

Enfin, comme \(\overrightarrow{A}_{S_1\rightarrow S}=-\overrightarrow{B}_{S_2\rightarrow S}\), \(\overrightarrow{A}_{S_1 \rightarrow S}\) a également pour support la droite \((AB)\).

#### Fondamental : Conséquences graphiques (2 glisseurs)

Si un système matériel soumis à deux glisseurs en \(A\) et \(B\) est en équilibre dans un référentiel \(R_g\) supposé galiléen, alors les résultantes de ces glisseurs :

- ont même support : la droite \((AB)\) ;

- ont même norme ;

- sont de sens opposés.

#### Exemple : Equilibre d'un vérin de l'hexapode (version hydraulique), poids négligé

### Cas d'un solide en équilibre soumis à trois glisseurs - Application graphique

Pour résoudre le cas de l'équilibre (dans un référentiel galiléen) d'un système soumis à 3 glisseurs, il faut connaître au minimum :

- une force entièrement (direction, sens et norme) ;

- le support d'une des deux autres forces.

Ainsi vous êtes en mesure de distinguer deux cas :

- si les deux directions connues ne sont pas parallèles, alors on se trouve dans le cas général d'un système soumis à 3 forces non parallèles.

- si les deux directions connues sont parallèles, alors la troisième force est nécessairement parallèle aux deux autres et on se trouve dans le cas particulier d'un système soumis à 3 forces parallèles

#### Cas d'un solide en équilibre soumis à trois glisseurs non parallèles

Soit \(S\) un système matériel en équilibre soumis à trois glisseurs :

- de la part d'un solide \(S_1\) appliqué au point \(A\) :\(\quad\{ \mathcal T_{S_1 \rightarrow S} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{A}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{A}_{S_1\rightarrow S} \\\vec 0\end{array} \right \}\)

- de la part d'un solide \(S_2\) appliqué au point \(B\) :\(\quad\{ \mathcal T_{S_2 \rightarrow S} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{B}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{B}_{S_2\rightarrow S} \\\vec 0\end{array} \right \}\)

- de la part d'un solide \(S_3\) appliqué au point \(C\) :\(\quad\{ \mathcal T_{S_3 \rightarrow S} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{C}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{C}_{S_3\rightarrow S} \\\vec 0\end{array} \right \}\)

Si \(S\) est en équilibre dans un référentiel \(R_g\) supposé galiléen, alors :

Appliquons le PFS à {S} :

- Par application du théorème de la résultante statique à \(S\) :

  \(\overrightarrow{A}_{S_1\rightarrow S}+\overrightarrow{B}_{S_2\rightarrow S}+\overrightarrow{C}_{S_3\rightarrow S}=\vec 0\)

  Ainsi, la somme vectorielle des 3 forces est nulle : elles sont coplanaires et le triangle des forces est fermé.

- Par application du théorème du moment statique \(S\) au point \(I\), point d'intersection des supports (connus) de \(\overrightarrow{A}_{S_1 \rightarrow S}\) et de \(\overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\) :

  \(\overrightarrow{M}_{I}\left(\overrightarrow{A}_{S_1 \rightarrow S}\right)+\overrightarrow{M}_{I}\left(\overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\right)+\overrightarrow{M}_{I}\left(\overrightarrow{C}_{S_3 \rightarrow S}\right)=\vec 0 \quad (*)\)

  Or \(\overrightarrow{M}_{I}\left(\overrightarrow{A}_{S_1 \rightarrow S}\right)=\overrightarrow{M}_{I}\left(\overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\right)=\vec 0\) puisque I se trouve sur les supports de \(\overrightarrow{A}_{S_1 \rightarrow S}\) et de \(\overrightarrow{B}_{S_2 \rightarrow S}\).

  Ainsi, \(\overrightarrow{M}_{I}\left(\overrightarrow{C}_{S_3 \rightarrow S}\right)=\vec 0 \quad \Leftrightarrow \quad \underbrace{\overrightarrow{M}_{C}\left(\overrightarrow{C}_{S_3 \rightarrow S}\right)}_{= \vec 0} + \overrightarrow{IC} \wedge \overrightarrow{C}_{S_3 \rightarrow S}= \vec 0 \quad \Leftrightarrow \quad \overrightarrow{IC} \wedge \overrightarrow{C}_{S_3 \rightarrow S}= \vec 0\)

  \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{C}_{S_3 \rightarrow S}\) étant supposés non nuls, \(\overrightarrow{C}_{S_3 \rightarrow S}\) est donc colinéaire à \(\overrightarrow{IC}\). Ainsi, le support de \(\overrightarrow{C}_{S_3 \rightarrow S}\) passe aussi par le point \(I\) et les supports des 3 résultantes sont donc concourants.

##### Fondamental : Conséquences graphiques (3 glisseurs non parallèles)

Si un système matériel est en équilibre dans un référentiel \(R_g\) supposé galiléen sous l'action de 3 glisseurs (de résultantes non parallèles), alors les résultantes de ces glisseurs sont :

- concourantes (leurs supports se coupent en un même point) ;

- coplanaires ;

- de somme vectorielle nulle (le triangle des forces est fermé).

##### Remarque : Application graphique

Connaissant une force entièrement et le support d'une seconde force, il est possible de construire le triangle des forces (ou dynamique) et de déterminer complètement et graphiquement les trois forces.

##### Exemple : Equilibre d'un vérin de l'hexapode (version hydraulique), poids non négligé

#### Cas d'un solide en équilibre soumis à trois glisseurs (3 forces) parallèles

##### Fondamental : Conséquences graphiques (3 glisseurs parallèles)

Si un système matériel est en équilibre dans un référentiel \(R_g\) supposé galiléen sous l'action de 3 glisseurs (de résultantes parallèles), alors les résultantes de ces glisseurs sont :

- parallèles ;

- coplanaires ;

- de somme vectorielle nulle.

Dans ce cas, il convient d'utiliser une méthode de résolution analytique consistant, selon les données de l'énoncé, à appliquer le TRS et/ou le TMS en un point judicieusement choisi.