## Bilan des actions mécaniques extérieures

### Fondamental : Bilan des actions mécaniques extérieures

Faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (B.A.M.E.) d'un système isolé \(S\) c'est recenser l'ensemble des A.M. extérieures c'est à dire celles exercées par \(\overline S\) sur \(S\).

En pratique, on s'aide d'un graphe de structure du mécanisme étudié sur lequel on indique la frontière d'isolement et les actions mécaniques non transmises par les liaisons (poids, ressort, visqueuse, magnétique, aérodynamique). On parle de graphe de structure « amélioré ».

Chaque action mécanique se modélise par un torseur, et en additionnant tous ces torseurs, on définit alors le torseur des actions mécaniques extérieures à \(S\) :

\[\boxed{\quad \{ \mathcal T_{\overline S \rightarrow S} \} = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc} \overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\ \overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)} \end{array}\right\}}} _{P} \left \{ \begin{array}{c} \overrightarrow{R}_{\overline S \rightarrow S } \\ \overrightarrow{M}_{P,\, \overline S \rightarrow S } \end{array} \right \} \quad}\]

### Exemple : Bride hydraulique

On cherche l'effort que doit exercer le piston 2 sur la bride 1 pour obtenir un effort de serrage \(F_{mini}\) sur la pièce à serrer 3. On suppose pour cela que les contacts se font sans frottement.

- Isolement du système matériel S={bride 1} :

- Bilan des actions mécaniques extérieures :

  - action de la pesanteur→ 1 : négligée dans cette étude devant les autres actions mécaniques.

  - action mécanique du piston 2→ 1 (transmise par la liaison sphère-plan \(L_{21}\) de centre A et de normale \(\vec x\))

  - action mécanique de la pièce à serrer 3 → 1 (transmise par la liaison sphère-plan \(L_{31}\) de centre B et de normale \(\vec y\) )

  - action mécanique du poussoir 4 → 1 (transmise par la liaison sphère-plan \(L_{41}\) de centre E et de normale \(\vec u\) )

  - action mécanique du bâti 0 → 1 en O (transmise par la liaison pivot \(L_{10}\) d'axe \((O,\vec z)\))

On peut modéliser chaque action mécanique par le torseur des actions mécaniques extérieures.

- action mécanique du piston 2→ 1 :

  \(\{ \mathcal T_{2\rightarrow 1} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{A}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{A}_{2\rightarrow 1 } \\\vec 0 \end{array} \right \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{A}\left \{ \begin{matrix} -X_{21} & 0 \\0 & 0 \\0& 0 \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)},X_{21}>0\)

- action mécanique de 3 → 1 :

  \(\{ \mathcal T_{3 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{B}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 } \\\vec 0 \end{array} \right \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{B}\left \{ \begin{matrix}0 & 0 \\Y_{31} & 0 \\0& 0 \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)}, Y_{31}>0\)

- action mécanique de 4 → 1 :

  \(\{ \mathcal T_{4 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{E}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1 } \\\vec 0 \end{array} \right \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{E}\left \{ \begin{matrix}-X_{41}& 0 \\0 & 0 \\0& 0 \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec u, \vec v, \vec z \right)}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{E}\left \{ \begin{matrix}-X_{41}\cos(\alpha) & 0 \\-X_{41}\sin(\alpha) & 0 \\0&0 \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)},X_{41}>0\)

- action mécanique du bâti → S en O :

  \(\{ \mathcal T_{0 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{O}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{O}_{0 \rightarrow 1 } \\\overrightarrow{M}_{O, 0\rightarrow 1 }^O \end{array} \right \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{O}\left \{ \begin{matrix}X_{01} & L_{01} \\Y_{01} & M_{01} \\Z_{01} & 0 \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)}\)

- Torseur des actions mécaniques extérieures :

Pour calculer le torseur des actions mécaniques extérieures à la bride 1, les torseurs doivent être réduits en un même point, ici on choisit le point O :

- action mécanique du piston 2 → 1 :

  \(\{ \mathcal T_{2 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{O}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{A}_{2 \rightarrow 1 } \\\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{A}_{2 \rightarrow 1 }\right)\end{array} \right \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{O}\left \{ \begin{matrix} -X_{21}& 0 \\0 & 0 \\0& X_{21}.d_A \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)},X_{21}>0\)

- action mécanique de 3 → 1 :

  \(\{ \mathcal T_{3 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{O}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 } \\\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 }\right)\end{array} \right \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{O}\left \{ \begin{matrix}0 & 0 \\Y_{31} & 0 \\0& -Y_{31}.d_B \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)},Y_{31}>0\)

- action mécanique de 4 → 1 :

  \(\{ \mathcal T_{4 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{O}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1 } \\\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1 }\right)\end{array} \right \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{O}\left \{ \begin{matrix}-X_{41}\cos(\alpha) & 0 \\-X_{41}\sin(\alpha) &0 \\0&-X_{41}.d_E \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)}, X_{41}>0\)

Ainsi le torseur des actions mécaniques extérieures à la bride 1 s'écrit :

\[\{ \mathcal T_{\overline 1 \rightarrow 1} \} = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}}_{O}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{R}_{\overline 1 \rightarrow 1 } \\\overrightarrow{M}_{O,\overline 1 \rightarrow 1}\end{array} \right \} = {\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{O} \left \{ \begin{matrix} -X_{21}-X_{41}\cos(\alpha) +X_{01} & L_{01} \\ Y_{31}-X_{41}\sin(\alpha)+Y_{01} & M_{01} \\ Z_{01} & X_{21}.d_A -Y_{31}.d_B-X_{41}.d_E\\ \end{matrix} \right \} _{\left( \vec x, \vec y, \vec z \right)} \]