## Théorème des actions réciproques (ou mutuelles)

### Fondamental : Théorème des actions réciproques

Quels que soient les solides \(S_1\) et \(S_2\) en équilibre, le torseur des actions mécaniques exercées par \(S_1\) sur \(S_2\) est l'opposé du torseur des actions mécaniques exercées par \(S_2\) sur \(S_1\) :

\[\boxed{\quad \forall t, \quad \forall S_1, S_2, \quad \left \{ \mathcal T_{S_2 \rightarrow S_1} \right \} = -\, \left \{ \mathcal T_{S_1 \rightarrow S_2}\right \} \quad \text{ ou encore} \quad \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow R_{S_2 \rightarrow S_1}=- \,\overrightarrow R_{S_1 \rightarrow S_2} \\ \overrightarrow M_{P, \, S_2 \rightarrow S_1}=- \,\overrightarrow M_{P, \,S_1 \rightarrow S_2} \quad , \forall P \end{array} \right. } \]

### Preuve :

Soit \(S\) un système matériel à l'équilibre dans \(R_g\) supposé galiléen, composé de deux sous-systèmes \(S_1\) et \(S_2\) (également à l'équilibre).

L'équilibre des systèmes \(S\), \(S_1\) et \(S_2\) s'écrit :

\(\left \{ \begin{array}{l} \left \{ \mathcal T_{\overline S \rightarrow S} \right \}=\{0\} \\ \left \{ \mathcal T_{\overline{S_1} \rightarrow S_1} \right \} =\{0\}\\ \left \{ \mathcal T_{\overline{S_2} \rightarrow S_2}\right \}=\{0\} \end{array} \right.\)

En additionnant les deux dernières équations d'équilibre, il vient : \(\left \{ \mathcal T_{\overline{S_1} \rightarrow S_1}\right \}+\left \{ \mathcal T_{\overline{S_2} \rightarrow S_2}\right \}=\{0\}\)

Or \(\left \{ \mathcal T_{\overline{S_1} \rightarrow S_1}\right \}=\left \{ \mathcal T_{\overline{S} \rightarrow S_1}\right \}+\left \{ \mathcal T_{S_2 \rightarrow S_1}\right \}\) et \(\left \{ \mathcal T_{\overline{S_2} \rightarrow S_2}\right \}=\left \{ \mathcal T_{\overline{S} \rightarrow S_2}\right \}+\left \{ \mathcal T_{S_1 \rightarrow S_2}\right \}\)

Ainsi, \(\underbrace{\left \{ \mathcal T_{\overline{S} \rightarrow S_1}\right \}+\left \{ \mathcal T_{\overline{S} \rightarrow S_2}\right \}}_{=\left \{ \mathcal T_{\overline S \rightarrow S} \right \}=\{0\} \quad \text{ car S est en équilibre}}+\left \{ \mathcal T_{S_2 \rightarrow S_1}\right \}+\left \{ \mathcal T_{S_1 \rightarrow S_2}\right \}=\{0\}\)

D'où le résultat : \(\quad \left \{ \mathcal T_{S_2 \rightarrow S_1} \right \}=-\, \left \{ \mathcal T_{S_1 \rightarrow S_2}\right \}\)