## Principe fondamental de la Statique

### Fondamental : Enoncé du Principe Fondamental de la Statique (PFS)

Si un système matériel S est en équilibre par rapport à un référentiel \(\mathcal{R}_g\) galiléen, alors le torseur des actions mécaniques extérieures à S est nul :

\[\boxed{ \quad \text{Si S est en équilibre par rapport à un référentiel } R_g \text{ galiléen, alors : } \quad \{ \mathcal T_{\overline S \rightarrow S} \} = \{0\} \quad } \]

### Remarque :

- Attention, la réciproque est fausse : le fait que le torseur des actions mécaniques extérieures à un système matériel soit nul n'implique pas que le système matériel soit à l'équilibre dans \(R_g\).

- Le PFS se traduit par deux équations vectorielles (voir l'exemple ci-après).

### Exemple : Bride hydraulique

Principe fondamental de la statique appliqué à la bride 1 en O :

Si \(1\) est en équilibre dans le référentiel \(\mathcal{R}(O,\vec x, \vec y, \vec z)\) supposé galiléen, alors :

\[\begin{array}{c} \{ \mathcal T_{\overline 1 \rightarrow 1} \}= \{0\} \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{R_{2\rightarrow 1}} \\\overrightarrow{M_{A} (2\rightarrow 1)}\end{array}\right\}}} _{O} \left \{ \begin{array}{c} \overrightarrow{A}_{2 \rightarrow 1 } +\overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 } +\overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1 } +\overrightarrow{O}_{0 \rightarrow 1 } \\ \overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{A}_{2 \rightarrow 1 }\right)+\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 }\right)+\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1 }\right)+\overrightarrow{M}_{O, 0\rightarrow 1 } \end{array} \right \} = \{0\} \end{array}\]

On obtient ainsi les 2 équations vectorielles suivantes :

\[\left\{ \begin{array}{l} \text{En résultante : } \quad \overrightarrow{A}_{2 \rightarrow 1 } +\overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 } +\overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1 } +\overrightarrow{O}_{0 \rightarrow 1 }\, = \, \vec0 \\ \\ \text{En moment : }\quad \overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{A}_{2 \rightarrow 1 }\right)+\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 }\right)+\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1 }\right)+\overrightarrow{M}_{O, 0\rightarrow 1 }\, = \, \vec0 \end{array} \right.\]

### Théorème de la résultante statique

#### Fondamental : Théorème de la résultante statique appliqué à S

\[\boxed{\quad \text{Si S est en équilibre par rapport à un référentiel } R_g \text{ galiléen, alors : } \quad \overrightarrow R_{\overline S \rightarrow S}=\vec 0 \quad}\]

#### Remarque : Résolution

En projetant cette équation vectorielle dans le repère spatial associé au référentiel, on obtient 3 équations scalaires.

#### Exemple : Bride hydraulique

Théorème de la résultante statique appliqué à la bride 1:

Si \(1\) est en équilibre dans le référentiel \(\mathcal{R}(O,\vec x, \vec y ,\vec z)\) supposé galiléen, alors :

\[\overrightarrow{R}_{\overline 1\rightarrow 1 } = \vec 0 \quad \Leftrightarrow \quad \overrightarrow{A}_{2\rightarrow 1 } +\overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 } +\overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1 } +\overrightarrow{O}_{0 \rightarrow 1 }=\vec 0 \\ \]

Par projection dans la base \((\vec x, \vec y, \vec z)\) associée à \(\mathcal R\), on obtient :

\[\left\{ \begin{array}{l} /\vec x\, :\quad-X_{21}-X_{41}\cos(\alpha) +X_{01} =0 \\ /\vec y\, :\quad Y_{31}-X_{41}\sin(\alpha)+Y_{01}=0 \\ /\vec z\, :\quad Z_{01} =0 \end{array} \right.\]

### Théorème du moment statique

#### Fondamental : Théorème du moment statique appliqué à S au point P

\[\boxed{\quad \text{Si S est en équilibre par rapport à un référentiel } R_g \text{ galiléen, alors : } \quad \overrightarrow M_{P,\,\overline S \rightarrow S}=\vec 0 \quad}\]

#### Remarque : Résolution

De même, en projetant cette équation vectorielle dans le repère spatial associé au référentiel, on obtient 3 équations scalaires.

#### Attention : TMS en un point précis !

Ne pas oublier de toujours bien préciser le point choisi pour l'application du théorème du moment statique.

#### Exemple : Bride hydraulique

Théorème du moment statique appliqué à la bride 1 en O :

Si \(1\) est en équilibre dans le référentiel \(\mathcal{R}(O,\vec x, \vec y, \vec z)\) supposé galiléen, alors :

\[\overrightarrow{M}_{O,\overline 1\rightarrow 1 } = \vec 0 \, \Leftrightarrow \quad\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{A}_{2 \rightarrow 1}\right)+\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{B}_{3 \rightarrow 1 }\right)+\overrightarrow{M}_{O}\left( \overrightarrow{E}_{4 \rightarrow 1}\right)+\overrightarrow{M}_{O, 0\rightarrow 1 }=\vec0\]

Par projection dans la base \((\vec x, \vec y, \vec z)\) associée à \(\mathcal R\), on obtient :

\[\left\{ \begin{array}{l} /\vec x\, : \quad L_{01}=0 \\ /\vec y\, : \quad M_{01}=0 \\ /\vec z\, : \quad X_{21}.d_A -Y_{31}.d_B-X_{41}.d_E=0 \end{array} \right.\]

### Complément sur la notion de référentiel galiléen

#### Définition : Référentiel galiléen

On appelle référentiel galiléen un référentiel dans lequel le PFS (ou plus généralement le PFD) est vérifié.

La notion de référentiel galiléen est absolue, c'est à dire que le repère spatial est considéré comme "fixe" par rapport à l'ensemble de l'Univers au cours du temps. En toute rigueur, un tel référentiel n'existe pas.

Cependant, pour les systèmes étudiés, il pourra être admis que les référentiels suivants restent de bonnes approximations de référentiels galiléens :

Type de référentiel | Origine | Axes | Validité
--- | --- | --- | ---
Référentiel de Copernic | Centre de masse du système solaire (proche de celui du Soleil) | Dirigés vers 3 étoiles fixes | \(T_{exp} << 200.10^6 \textit{ années}\)
Référentiel géocentrique (ou de Foucault) | Centre de masse de la Terre | Dirigés vers 3 étoiles fixes | \(T_{exp} \approx 24 h<< 365 \textit{ jours}\)
Référentiel terrestre (ou du laboratoire) | Lié à la surface terrestre | Fixes par rapport à la Terre | \(T_{exp} \approx 30min<< 24h\)

#### Remarque :

Tout repère animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est également galiléen.