Moment d'une force en un point
Mise en évidence : serrage d'une vis à l'aide d'une clé plate
On considère l'action mécanique d'un utilisateur sur une clé modélisable par le vecteur force \(\overrightarrow{F}_{utilisateur \rightarrow cle}\), appliqué au point A.
Cette force aura tendance à faire tourner la vis permettant ainsi le serrage (ou desserrage).
On dit alors que la force exercée au point A crée un moment au point B. Ce moment :
s'exerce autour d'un axe (celui de de la vis) : point d'application et direction ;
possède un sens (serrage ou desserrage) ;
possède une intensité.
Ainsi le moment d'une force peut être modélisé mathématiquement par un vecteur : le vecteur moment au point B noté \(\overrightarrow{M}_B\left(\overrightarrow{F}_{utilisateur \rightarrow cle}\right)\).
La norme du vecteur moment correspond à l'intensité de la tendance à faire tourner la vis. Elle s'exprime en N.m et dépend :
de la norme de la force exercée sur la clé ;
de la distance BA' appelée « bras de levier » (avec A' projeté orthogonal de B sur le support de la force).
Expression du moment d'une force en un point
Définition : Moment d'une force en un point
On appelle moment au point B de la force \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\) appliquée en A le vecteur \(\overrightarrow{M}_{B}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)\) tel que :
Ce moment s'exprime en Newton mètre (\(\textit{N.m}\))
Remarque :
1. Point d'application :
Si le point d'application de A de la force se déplace sur le support de celle-ci noté \(\Delta\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)\), le moment en B ne change pas.
2. Direction :
La direction du moment est orthogonale au plan formé par \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\)
\(\text{.}\)
3. Sens :
Le sens du moment est tel que le trièdre \(\left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2},\overrightarrow{M}_{B}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right) \right)\) soit direct (règle du tire-bouchon ou des 3 doigts de la main droite).
4. Norme :
La norme du moment vaut :
C'est à dire :
5. Cas de nullité :
Le moment en B est nul si :
la force \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\) est nulle ;
si le support de la force \(\Delta\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)\) passe par le point B, c'est à dire si le bras de levier est nul.
Conclusion :
Dans des cas simples, on pourra donner directement l'expression du vecteur moment en utilisant la formule suivante :
Dans les autres cas, on utilisera la définition avec le produit vectoriel : \(\overrightarrow{M}_{B}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)=\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\)
Complément : Quelques ordres de grandeur de moments
Porte que vous fermez : moins de\(1 \,Nm\).
Clé allen quand vous serrez une vis CHc : \(2 \,Nm\).
Desserrage d'un écrou de roue de voiture : autour de \(50\, Nm\).
Moment d'une force par rapport à un axe
On appelle moment d'une force \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\) par rapport à un axe \((O,\vec{i})\) la composante suivant \(\vec{i}\) du moment de la force en un point quelconque de l'axe \((O,\vec{i})\) .
Autrement dit, on calcule le moment en un point de l'axe, puis on projette ou on lit la coordonnée qui se trouve sur l'axe en question.
Exemple : Pédalier
L'action du pied 1 sur la pédale 2 est représentée en M par une force \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}=- 500 \vec y - 10\vec z\).
On donne : \(\overrightarrow{AM}=0,1 \, \vec x + 0,05 \, \vec y - 0,2 \,\vec z\) (en m)

Objectif : calculer le moment de la force \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\) par rapport à l'axe \((A,\vec x)\).
Méthode 1 : Utilisation du produit vectoriel
Moment au point A de la force appliquée en M :
Ainsi, le moment par rapport à l'axe \((A,\vec x)\) est donc de \(- 100,5 \,N.m\)
Méthode 2 : Utilisation du bras de levier
On représente ce qui se passe dans le plan perpendiculaire à l'axe \((A,\vec x)\).

On décompose la force : \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}=\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Y+\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Z\)
La composante \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Y\) exerce un moment en A égal, à :
\(\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Y\right)=- \,\Vert \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Y \Vert \times \underbrace{AM''}_{\textit{bras de levier de } \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Y} \vec x=-500 \times 0,2 \,\vec x=-100 \,\vec x\)
De même, la composante \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Z\) exerce un moment en A égal à :
\(\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Z\right)=- \,\Vert \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Z \Vert \times \underbrace{AM'}_{\textit{bras de levier de } \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Z} \vec x=-10 \times 0,05 \,\vec x=- \,0,5 \,\vec x \, \text{ (en N.m)}\)
D'où le moment de \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\) autour de l'axe \((A,\vec x)\) : \(\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)\, . \, \vec x = -100,5 N.m\)