## Moment d'une force en un point

### Mise en évidence : serrage d'une vis à l'aide d'une clé plate

On considère l'action mécanique d'un utilisateur sur une clé modélisable par le vecteur force \(\overrightarrow{F}_{utilisateur \rightarrow cle}\), appliqué au point A.

Cette force aura tendance à faire tourner la vis permettant ainsi le serrage (ou desserrage).

On dit alors que la force exercée au point A crée un moment au point B. Ce moment :

- s'exerce autour d'un axe (celui de de la vis) : point d'application et direction ;

- possède un sens (serrage ou desserrage) ;

- possède une intensité.

Ainsi le moment d'une force peut être modélisé mathématiquement par un vecteur : le vecteur moment au point B noté \(\overrightarrow{M}_B\left(\overrightarrow{F}_{utilisateur \rightarrow cle}\right)\).

La norme du vecteur moment correspond à l'intensité de la tendance à faire tourner la vis. Elle s'exprime en N.m et dépend :

- de la norme de la force exercée sur la clé ;

- de la distance BA' appelée « bras de levier » (avec A' projeté orthogonal de B sur le support de la force).

### Expression du moment d'une force en un point

#### Définition : Moment d'une force en un point

On appelle moment au point B de la force \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\) appliquée en A le vecteur \(\overrightarrow{M}_{B}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)\) tel que :

\[\boxed{\overrightarrow{M}_{B}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)=\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}}\]

Ce moment s'exprime en Newton mètre (\(\textit{N.m}\))

#### Remarque :

1. Point d'application :

Si le point d'application de A de la force se déplace sur le support de celle-ci noté \(\Delta\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)\), le moment en B ne change pas.

2. Direction :

La direction du moment est orthogonale au plan formé par \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\)

\(\text{.}\)

3. Sens :

Le sens du moment est tel que le trièdre \(\left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2},\overrightarrow{M}_{B}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right) \right)\) soit direct (règle du tire-bouchon ou des 3 doigts de la main droite).

4. Norme :

La norme du moment vaut :

\[\Vert \, \overrightarrow{M}_{B}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right) \, \Vert = \Vert \, \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2} \, \Vert \, .\, \underbrace{\Vert \, \overrightarrow{BA}\, \Vert \, .\, \vert \, \sin \alpha\, \vert}_{= \,\Vert \, \overrightarrow{BA'}\, \Vert \\} = \Vert \, \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2} \, \Vert \, .\, \Vert \, \overrightarrow{BA'}\, \Vert \\ \]

C'est à dire :

\[\boxed{ \quad \textit{ Moment } = \textit{ Force } \times \textit{ Bras de levier } \quad } \]

5. Cas de nullité :

Le moment en B est nul si :

- la force \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\) est nulle ;

- si le support de la force \(\Delta\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)\) passe par le point B, c'est à dire si le bras de levier est nul.

Conclusion :

Dans des cas simples, on pourra donner directement l'expression du vecteur moment en utilisant la formule suivante :

\[\overrightarrow{M}_{B}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right) = \underbrace {\pm}_{\begin{array}{c}\textit{sens donné par la }\\ \textit{règle du tire bouchon}\end{array}} \Vert \, \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2} \, \Vert \, \, \times \, \text{Bras de levier}. \underbrace{\vec u}_{\begin{array}{c}\perp \textit{plan formé }\\\textit{par la force}\\ \textit{et le bras de levier}\end{array}}\]

Dans les autres cas, on utilisera la définition avec le produit vectoriel : \(\overrightarrow{M}_{B}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)=\overrightarrow{BA}\wedge \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\)

#### Complément : Quelques ordres de grandeur de moments

- Porte que vous fermez : moins de \(1 \,Nm\).

- Clé allen quand vous serrez une vis CHc : \(2 \,Nm\).

- Desserrage d'un écrou de roue de voiture : autour de \(50\, Nm\).

### Moment d'une force par rapport à un axe

On appelle moment d'une force \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\) par rapport à un axe \((O,\vec{i})\) la composante suivant \(\vec{i}\) du moment de la force en un point quelconque de l'axe \((O,\vec{i})\) .

Autrement dit, on calcule le moment en un point de l'axe, puis on projette ou on lit la coordonnée qui se trouve sur l'axe en question.

#### Exemple : Pédalier

L'action du pied 1 sur la pédale 2 est représentée en M par une force \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}=- 500 \vec y - 10\vec z\).

On donne : \(\overrightarrow{AM}=0,1 \, \vec x + 0,05 \, \vec y - 0,2 \,\vec z\) (en m)

Objectif : calculer le moment de la force \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\) par rapport à l'axe \((A,\vec x)\).

- Méthode 1 : Utilisation du produit vectoriel

Moment au point A de la force appliquée en M :

\[\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)=\overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2} = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\c\\\end{array}\right\}}}_{(\vec x, \vec y, \vec z)}{ } \left | \begin{array}{c}0,1\\0,05 \\-0,2\end{array} \right . \wedge {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\c\\\end{array}\right\}}}_{(\vec x, \vec y, \vec z)}{ } \left | \begin{array}{c}0\\-500 \\-10\end{array} \right . = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\c\\\end{array}\right\}}}_{(\vec x, \vec y, \vec z)}{ } \left | \begin{array}{c}-100,5\\1 \\-50\end{array} \right . \]

Ainsi, le moment par rapport à l'axe \((A,\vec x)\) est donc de \(- 100,5 \,N.m\)

- Méthode 2 : Utilisation du bras de levier

On représente ce qui se passe dans le plan perpendiculaire à l'axe \((A,\vec x)\).

On décompose la force : \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}=\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Y+\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Z\)

La composante \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Y\) exerce un moment en A égal, à :

\(\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Y\right)=- \,\Vert \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Y \Vert \times \underbrace{AM''}_{\textit{bras de levier de } \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Y} \vec x=-500 \times 0,2 \,\vec x=-100 \,\vec x\)

De même, la composante \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Z\) exerce un moment en A égal à :

\(\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Z\right)=- \,\Vert \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Z \Vert \times \underbrace{AM'}_{\textit{bras de levier de } \overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}^Z} \vec x=-10 \times 0,05 \,\vec x=- \,0,5 \,\vec x \, \text{ (en N.m)}\)

D'où le moment de \(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\) autour de l'axe \((A,\vec x)\) : \(\overrightarrow{M}_{A}\left(\overrightarrow{F}_{1 \rightarrow 2}\right)\, . \, \vec x = -100,5 N.m\)