## Liaisons équivalentes

Comme celà a déjà été fait en modélisation cinématique, il est possible de déterminer la liaison équivalente à une association de liaisons en série ou en parallèle.

La méthode jusqu'alors utilisée faisait appel aux torseur cinématiques des liaisons. Il s'agissait de la méthode cinématique.

La méthode présentée ci-dessous fait appel aux torseurs des actions mécaniques transmissibles par les liaisons. On parle alors de méthode statique.

### Association de liaisons en série

#### Fondamental : Liaisons en série

La liaison équivalente entre 2 et 0 doit être capable de transmettre toutes les composantes d'efforts qui sont transmises par \(L_{10}\) et \(L_{21}\):

\[\boxed{ \{ \mathcal T_{eq,2 \rightarrow 0} \}=\{ \mathcal T_{2 \rightarrow 1} \}=\{ \mathcal T_{1 \rightarrow 0} \} }\]

Rappel (méthode cinématique) : la liaison équivalente entre 0 et 2 se détermine par composition des torseurs cinématiques :

\[\{ \mathcal V_{eq,2 /0} \}\,=\,\{ \mathcal V_{2/1} \}\,+\,\{ \mathcal V_{1/0} \}\]

#### Exemple : Pompe à pistons axiaux

On cherche le torseur : \(\{ \mathcal T_{eq,2 \rightarrow 0} \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{A}\left \{ \begin{matrix}X_{20} & L_{20} \\Y_{20} & M_{20} \\Z_{20} & N_{20} \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x_1, \vec y_1, \vec z_1 \right)}\)

On doit avoir :

\[\{ \mathcal T_{eq,2 \rightarrow 0} \}=\{ \mathcal T_{2 \rightarrow 1} \}=\{ \mathcal T_{1 \rightarrow 0} \} \\ \]
\[\Leftrightarrow{\vphantom{ \left \{ \begin{matrix} X_{21} & L_{21} \\ Y_{21} & M_{21} \\ Z_{21} & N_{21} \\ \end{matrix} \right \} }} _{A} \left \{ \begin{matrix} X_{20} & L_{20} \\ Y_{20} & M_{20} \\ Z_{20} & N_{20} \\ \end{matrix} \right \}_{\left( \vec x_1, \vec y_1, \vec z_1 \right)} = {\vphantom{\left \{ \begin{matrix} X_{21} & L_{21} \\ Y_{21} & M_{21} \\ Z_{21} & N_{21} \\ \end{matrix} \right \} }} _{A} \left \{ \begin{matrix} X_{21} & 0\\ Y_{21} & 0 \\ Z_{21} & 0 \\ \end{matrix} \right \}_{\left( \vec x_1, \vec y_1, \vec z_1 \right)} = {\vphantom{ \left \{ \begin{matrix} X_{21} & L_{21} \\ Y_{21} & M_{21} \\ Z_{21} & N_{21} \\ \end{matrix} \right \} }} _{A} \left \{ \begin{matrix} X_{10} &0 \\ 0 & M_{10} \\ 0 & N_{10} \\ \end{matrix} \right \}_{\left( \vec x_1, \vec y_1, \vec z_1 \right)}\]

\(\Leftrightarrow \, \{ \mathcal T_{eq,2 \rightarrow 0} \}={\vphantom{\left \{ \begin{matrix}X_{21} & L_{21} \\Y_{21} & M_{21} \\Z_{21} & N_{21} \\\end{matrix} \right \} }}_{A}\left \{ \begin{matrix}X_{10} &0 \\0 & 0 \\0 & 0 \\\end{matrix} \right \}_{\left( \vec x_1, \vec y_1, \vec z_1 \right)}\), avec \(X_{20}=X_{21}=X_{10}\)

Liaison sphère plan de centre A et de normale \(\vec x_1\)

### Association de liaisons en parallèle

#### Fondamental : Liaisons en parallèle

La liaison équivalente doit pouvoir transmettre tous les efforts que transmettent chacune des liaisons simples :

\[\boxed{ \{ \mathcal T_{eq,0 \rightarrow 1} \}=\{ \mathcal T_{0\rightarrow 1}^a \}+\{ \mathcal T_{0 \rightarrow 1}^b \} }\]

Rappel (méthode cinématique) : la liaison équivalente entre 1 et 0 se détermine en égalisant les torseurs cinématiques :

\[\{ \mathcal V_{eq,1 /0} \}\,=\,\{ \mathcal V_{1/0}^a \}\,=\,\{ \mathcal V_{1/0}^b\}\]

#### Exemple : Micromoteur de modélisme

Pour déterminer la liaison équivalente, on se sert de la relation :

\[\{ \mathcal T_{eq,0 \rightarrow 1} \}=\{ \mathcal T_{0\rightarrow 1}^a \}+\{ \mathcal T_{0 \rightarrow 1}^b \}\]
\[\Leftrightarrow \{ \mathcal T_{eq,0 \rightarrow 1} \} = {\vphantom{ \left \{ \begin{matrix} X_{21} & L_{21} \\ Y_{21} & M_{21} \\ Z_{21} & N_{21} \\ \end{matrix} \right \} }} _{O} \left \{ \begin{matrix} X_{01}^a & L_{01}^a \\ Y_{01}^a & M_{01}^a \\ 0&0 \\ \end{matrix} \right \}_{\left( \vec x_0, \vec y_0, \vec z_0 \right)} + {\vphantom{ \left \{ \begin{matrix} X_{21} & L_{21} \\ Y_{21} & M_{21} \\ Z_{21} & N_{21} \\ \end{matrix} \right \} }} _{O} \left \{ \begin{matrix} 0 & L_{01}^b \\ 0 & M_{01}^b \\ Z_{01}^b & 0 \\ \end{matrix} \right \}_{\left( \vec x_0, \vec y_0, \vec z_0 \right)}\]
\[\Leftrightarrow \, \{ \mathcal T_{eq,0 \rightarrow 1} \} = {\vphantom{ \left \{ \begin{matrix} X_{21} & L_{21} \\ Y_{21} & M_{21} \\ Z_{21} & N_{21} \\ \end{matrix} \right \} }} _{O} \left \{ \begin{matrix} X_{01}^a & L_{01}^a +L_{01}^b\\ Y_{01}^a & M_{01}^a +M_{01}^b\\ Z_{01}^b&0 \\ \end{matrix} \right \}_{\left( \vec x_0, \vec y_0, \vec z_0 \right)} \quad \text{ : Liaison pivot d'axe } (O,\vec z_0)\]