## Frottement visqueux

Comme évoqué précédemment, le frottement visqueux dépend de la vitesse relative du solide et du fluide. Il est à l'origine des pertes d'énergie par frottement pour l'objet se déplaçant dans le fluide.

La modélisation de ce phénomène fait appel à des notions de mécanique des fluides relativement complexes. A votre niveau, on se contente de donner l'expression au niveau global de la résultante des actions mécaniques d'un fluide sur un solide de géométrie simple pour différentes vitesse d'écoulement.

### Écoulement à faible vitesse

Lorsque l'écoulement se trouve dans un régime laminaire, le passage du fluide ne génère pas de turbulence. Dans ce cas :

\[\boxed{\overrightarrow{R_{fluide \rightarrow S}}=-K\cdot \eta\cdot \overrightarrow{V_{G \in S /fluide }}} \]

avec \(\left \{\begin{array}{l} K \text{ : coefficient caractéristique de la géométrie du solide } (\textit{en m }) \\ \eta \text{ : coefficient de viscosité dynamique du fluide } \left( \textit{en } kg .m^{-1}. s^{-1} \textit{ ou } Pa. s \right) \\ \end{array} \right .\)

Le coefficient de viscosité dynamique du fluide dépend de la température :

| 0°C | 20°C | 40°C
--- | --- | --- | ---
\(\eta\) (air sec) | \(1,7\cdot10^{-5}\) | \(1,8\cdot10^{-5}\) | \(1,9\cdot10^{-5}\)
\(\eta\) (eau pure) | \(1,8\cdot10^{-3}\) | \(1\cdot10^{-3}\) | \(0,7\cdot10^{-3}\)

Dans le cas d'une sphère de rayon \(R\) : \(K=6\pi R\).

### Écoulement à vitesse élevée

A vitesse élevée, lorsque l'écoulement se trouve en régime turbulent :

\[\boxed{\overrightarrow{R_{fluide \rightarrow S}}=-\frac 1 2 \rho\,S\,C_x\,V^2\vec u}\]

avec \(\left \{\begin{array}{l} \rho \text{ : masse volumique du fluide } (\textit{en }kg.m^{-3}) \\ S\text{ : aire du solide selon direction perpendiculaire à la vitesse } ( \textit{en} m^{2} ) \\C_x\text{ : coefficient de traînée caractérisant la géométrie du solide } \left( \textit{sans unité} \right)\\ V \text{ : vitesse caractéristique du fluide } (=\Vert\overrightarrow{V_{G \in S /fluide }}\Vert \text{ à distance de la paroi)} \\\vec u \text{ : vecteur directeur de }\overrightarrow{V_{G \in S /fluide }}\\ \end{array} \right .\)