## Frottement sec : Lois de Coulomb

### Cas du contact ponctuel

Soient deux solides \(S_2\) et \(S_1\) en contact ponctuel en un point \(I\). L'action mécanique exercée par le solide \(S_2\) sur le solide \(S_1\) se modélise par un glisseur de résultante \(\overrightarrow{F}_{2\rightarrow 1}\) tel que :

\[\boxed{\quad\{ \mathcal T_{2 \rightarrow 1} \}={\vphantom{\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{F}_{2\rightarrow 1} \\\overrightarrow{0}\end{array} \right \} }}_{I}\left \{ \begin{array}{c}\overrightarrow{F}_{2\rightarrow 1} \\\overrightarrow{0}\end{array} \right \}\quad}\]

- Dans le cas d'un contact sans frottement, la résultante \(\overrightarrow{F}_{2\rightarrow 1}\) est purement normale et orientée de \(S_2\) vers \(S_1\).

- Dans le cas d'un contact avec frottement, \(\overrightarrow{F}_{2\rightarrow 1}\) se décompose en une composante normale \(\overrightarrow{N}_{2\rightarrow 1}\) (correspondant à \(\overrightarrow{F}_{2\rightarrow 1}\) dans un cas sans frottement) et en une composante tangentielle \(\overrightarrow{T}_{2\rightarrow 1}\) qui comme son nom l'indique est contenue dans le plan tangent commun :

\[ \boxed{\,\overrightarrow{F}_{2\rightarrow 1}=\overrightarrow{N}_{2\rightarrow 1}+\overrightarrow{T}_{2\rightarrow 1}\,}\]

La composante tangentielle permet donc de modéliser le phénomène de frottement. Les lois de Coulomb énoncent les caractéristiques de cet effort tangentiel (direction, sens norme) en distinguant deux cas :

- Glissement : il existe un mouvement relatif entre les deux solides.

- Adhérence : il existe éventuellement une tendance au mouvement, mais il n'y a aucun mouvement relatif entre les pièces au niveau du point de contact I.

#### Cas du glissement

##### Fondamental : Lois de Coulomb relatives au glissement (contact ponctuel)

Par définition, il y a glissement si la vitesse de glissement est non nulle : \(\overrightarrow{V}_{I,1/2}\neq \vec 0\)

1. La composante tangentielle \(\overrightarrow{T_{ 2\rightarrow 1}}\)est colinéaire à la vitesse de glissement et de sens opposé : \(\boxed{ \,\overrightarrow{T_{ 2\rightarrow 1}}\wedge\overrightarrow{V}_{I,1/2}=\vec{0}} \quad\)et \(\boxed{ \,\overrightarrow{T_{ 2\rightarrow 1}}\cdot\overrightarrow{V}_{I,1/2}<0} \quad\)

2. La norme de la composante tangentielle est proportionnelle à celle de l'effort normal : \(\boxed{\, \Vert \, \overrightarrow{T_{ 2\rightarrow 1}} \, \Vert= f \, \Vert \, \overrightarrow{N_{ 2\rightarrow 1}} \, \Vert \,}\) , avec f : coefficient de frottement.

3. Interprétation graphique : \(\overrightarrow{F_{ 2\rightarrow 1}}\) se situe sur le cône de frottement de demi angle au sommet \(\varphi\) tel que : \(\boxed{ \,f=\tan \varphi\, }\) , avec \(\varphi\) : angle de frottement.

##### Remarque :

Les lois de Coulomb énoncées ci-dessus dans le cas du glissement peuvent être réunies dans l'expression de la composante tangentielle :

\[ \overrightarrow{T_{ 2\rightarrow 1}} = - f \, \Vert \, \overrightarrow{N_{ 2\rightarrow 1}} \, \Vert \, \frac{\overrightarrow{V}_{I,1/2} }{\Vert\overrightarrow{V}_{I,1/2} \, \Vert}\]

#### Cas de l'adhérence

##### Fondamental : Lois de Coulomb relatives à l'adhérence (contact ponctuel)

Par définition, il y a adhérence si la vitesse de glissement est nulle : \(\overrightarrow{V}_{I,1/2} =\vec 0\)

1. La composante tangentielle \(\overrightarrow{T_{ 2\rightarrow 1}}\) s'oppose à la tendance au mouvement du point \(I\in1/2\).

2. \(\boxed{\, \Vert \, \overrightarrow{T_{ 2\rightarrow 1}} \, \Vert \leq f_0 \, \Vert \, \overrightarrow{N_{ 2\rightarrow 1}} \, \Vert \,}\) , avec \(f_0\) : coefficient d'adhérence

3. Interprétation graphique : \(\overrightarrow{F_{ 2\rightarrow 1}(M)}\) se situe à l'intérieur du cône d'adhérence de demi angle au sommet \(\varphi_0\) tel que \(\boxed{f_0=\tan \varphi_0}\) , avec \(\varphi_0\) : angle d'adhérence.

   Ainsi, dans le cas de l'adhérence \(\alpha \leq \varphi_0\) (voir figure ci-dessous).

#### Cas de l'équilibre strict - Limite du glissement

L'équilibre strict correspond au cas d'adhérence limite pour lequel \(\overrightarrow{V}_{I,1/2} =\vec 0\) et \(\overrightarrow{F}_{ 2\rightarrow 1}\) se situe sur le cône d'adhérence (\(\alpha = \varphi_0\)). Dans ce cas d'adhérence, à la limite du glissement, on a :

\[\boxed{\quad \Vert \, \overrightarrow{T}_{ 2\rightarrow 1} \, \Vert= f_0 \, \Vert \, \overrightarrow{N}_{ 2\rightarrow 1} \, \Vert \quad }\quad\]

##### Remarque :

- Dans le cadre des problèmes de statique avec prise en compte du frottement, on se placera à la limite du glissement afin d'avoir une expression de la composante tangentielle grâce aux lois de Coulomb.

- Quand le système est en équilibre strict, si on cherche à augmenter \(\Vert \,\overrightarrow{T}_{ 2\rightarrow 1}\,\Vert\) il y a immédiatement glissement, et \(\overrightarrow{F}_{ 2\rightarrow 1}\) se positionne alors sur le cône de frottement.

- Le demi-angle au sommet du cône d'adhérence \(\varphi_0\) est légèrement supérieur à celui du du cône de frottement (dans le cas du glissement). Ainsi, l'effort tangentiel le plus grand s'obtient lorsque l'on \(\overrightarrow{F}_{ 2\rightarrow 1}\) se trouve sur le cône d'adhérence : à l'équilibre stricte.

### Cas du contact surfacique

Dans le cas d'un contact surfacique, il faut tout d'abord modéliser le phénomène de frottement d'un point de vue local.

Dans le cas général d'un contact surfacique entre solides avec frottement, la force élémentaire en un point \(M\) : \(\overrightarrow{dF_{ 2\rightarrow 1}(M)}\) se décompose en une composante normale au plan tangent commun au contact \(\overrightarrow{dN_{ 2\rightarrow 1}(M)}\) (orientée de 2 vers 1 pour ne pas rompre le contact) et en un composante tangentielle \(\overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}(M)}\) qui comme son nom l'indique est contenue dans ce plan tangent.

\[\overrightarrow{dF_{ 2\rightarrow 1}}=\overrightarrow{dN_{ 2\rightarrow 1}}+\overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}}\]

Les lois de Coulomb énoncent cette fois-ci les caractéristiques de l'effort tangentiel élémentaire (direction, sens norme) en distinguant toujours le glissement et l'adhérence.

#### Cas du glissement

##### Fondamental : Lois de Coulomb relatives au glissement (Point de vue local)

Par définition, il y a glissement si la vitesse de glissement est non nulle : \(\overrightarrow{V}_{M,1/2}\neq \vec 0\)

1. La composante tangentielle est colinéaire à la vitesse de glissement et s'oppose à la vitesse de glissement : \(\boxed{ \,\overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}(M)}\wedge\overrightarrow{V}_{M,1/2}=\vec{0}} \quad\)et \(\boxed{ \,\overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}(M)}\cdot\overrightarrow{V}_{M,1/2}<0} \quad\)

2. La norme de la composante tangentielle est proportionnelle à celle de l'effort normal : \(\boxed{\, \Vert \, \overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}(M)} \, \Vert= f \, \Vert \, \overrightarrow{dN_{ 2\rightarrow 1}(M)} \, \Vert \,}\) , avec f : coefficient de frottement

3. Interprétation graphique : l'action mécanique élémentaire \(\overrightarrow{dF_{ 2\rightarrow 1}}(M)\) se situe sur le cône de frottement de demi angle au sommet \(\varphi\) tel que : \(\boxed{ \,f=\tan \varphi\, }\).

   (\(\varphi\): angle de frottement)

##### Remarque :

Les lois de Coulomb énoncées ci-dessus dans le cas du glissement peuvent être réunies dans l'expression de la composante tangentielle de l'effort élémentaire :

\[ \overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}(M)} = - f \, \Vert \, \overrightarrow{dN_{ 2\rightarrow 1}(M)} \, \Vert \, \frac{\overrightarrow{V}_{M,1/2} }{\Vert\overrightarrow{V}_{M,1/2} \, \Vert}\]

#### Cas de l'adhérence

##### Fondamental : Lois de Coulomb relatives à l'adhérence (Point de vue local)

Par définition, il y a adhérence si la vitesse de glissement est nulle : \(\overrightarrow{V}_{M,1/2} =\vec 0\)

1. La composante tangentielle s'oppose à la tendance au mouvement de \(M\in1/2\).

2. \(\boxed{\, \Vert \, \overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}(M)} \, \Vert \leq f_0 \, \Vert \, \overrightarrow{dN_{ 2\rightarrow 1}(M)} \, \Vert \,}\) , avec \(f_0\) : coefficient d'adhérence

3. Interprétation graphique : l'action mécanique élémentaire \(\overrightarrow{dF_{ 2\rightarrow 1}(M)}\) se situe à l'intérieur du cône d'adhérence de demi angle au sommet \(\varphi_0\) tel que \(\boxed{f_0=\tan \varphi_0}\).

   Ainsi, dans le cas de l'adhérence \(\alpha \leq \varphi_0\) (voir figure ci-dessous).

##### Remarque : Équilibre strict

L'équilibre strict correspond au cas d'adhérence limite pour lequel \(\overrightarrow{V}_{M,1/2} =\vec 0\) et \(\overrightarrow{dF_{ 2\rightarrow 1}(M)}\) se situe sur le cône d'adhérence (\(\alpha = \varphi_0\)). Dans ce cas d'adhérence, à la limite du glissement, on a :

\[\boxed{\quad \Vert \, \overrightarrow{dT_{ 2\rightarrow 1}(M)} \, \Vert= f_0 \, \Vert \, \overrightarrow{dN_{ 2\rightarrow 1}(M)} \, \Vert \quad }\quad\]

#### Point de vue global

Comme évoqué en partie V.2.2, le passage du modèle local au modèle global s'effectue par intégration :

\[\boxed{\quad \{ \mathcal T_{2 \rightarrow 1} \} = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc} \overrightarrow{F_{2\rightarrow 1}} \\ \overrightarrow{M_{I} (2\rightarrow 1)} \end{array}\right\}}} _{I} \left \{ \begin{array}{c} \overrightarrow{F}_{2\rightarrow 1} =\displaystyle\iint_{S} \overrightarrow{dF_{ 2\rightarrow 1}(M)}\\ \overrightarrow{M}_{I, \,2\rightarrow 1}=\displaystyle\iint_{S} \overrightarrow{IM}\wedge \overrightarrow{dF_{ 2\rightarrow 1}(M)} \end{array} \right \} \quad}\]

La résultante du torseur des actions mécaniques transmissible obtenu \(\overrightarrow{F_{2\rightarrow 1}}\) se décompose alors en une composante normale \(\overrightarrow{N_{2\rightarrow 1}}\) et une composante tangentielle \(\overrightarrow{T_{2\rightarrow 1}}\).