## Exploitation du schéma cinématique : la loi entrée/sortie

### Définition

#### Fondamental : Loi entrée/sortie

Une loi entrée-sortie géométrique est une relation entre les paramètres de position et/ou d'orientation de la classe d'équivalence recevant le mouvement d'entrée et ceux de la classe d'équivalence communiquant le mouvement de sortie.

Selon le type de chaîne cinématique de solides rencontré, différentes méthodes peuvent être employées :

### Exemple d'une chaîne cinématique ouverte : bras robot

On considère le modèle plan simplifié dans lequel la pince de robot n'est animée que par deux mouvements de rotation paramétrés par \(\theta_1\) et \(\theta_2\).

Chaque bras du robot est de longueur \(L\). On utilise le système de coordonnées cartésiennes pour positionner le point \(B\) en bout de chaîne dans le repère \(\mathcal R_0 (O,\vec x_0, \vec y_0, \vec z_0)\). Ainsi \(\overrightarrow{OB}=x_B \, \vec x_0 +y_B \, \vec y_0\)

→ Relation directe : le modèle géométrique direct permet d'exprimer les paramètres de sortie \(x_B\) et \(y_B\) en fonction des paramètres d'entrée \(\theta_1\) et \(\theta_2\).

D'après la relation de Chasles : \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=L \, \vec x_1 + L \, \vec x_2\).

\(\text{Or} \quad \left \{ \begin{array}{ l} \vec x_1= \cos \theta_1 \vec x_0 + \sin \theta_1 \vec y_0 \\ \vec x_2= \cos (\theta_1+\theta_2) \vec x_0 + \sin (\theta_1+\theta_2) \vec y_0 \end{array} \right . \text{ donc } \quad \, \boxed{\left \{ \begin{array}{ l} x_B = L.\cos \theta_1 +L. \cos (\theta_1+\theta_2) \\ y_B = L.\sin \theta_1 +L. \sin (\theta_1+\theta_2) \end{array} \right . }\)

→ Relation indirecte : le modèle géométrique indirect permet d'exprimer les paramètres d'entrée \(\theta_1\) et \(\theta_2\) en fonction des paramètres de sortie \(x_B\) et \(y_B\).

On part de la relation directe : \(\left \{ \begin{array}{ l} x_B = L.\cos \theta_1 +L. \cos (\theta_1+\theta_2) \\ y_B = L.\sin \theta_1 +L. \sin (\theta_1+\theta_2) \end{array} \right .\)

\(\text{Or} \quad \left \{ \begin{array}{ l} \cos a + \cos b = 2.\cos \frac {a+b} 2.\cos \frac{a-b} 2\\ \sin a + \sin b = 2.\sin \frac {a+b} 2.\cos \frac{a-b} 2 \end{array} \right . \text{ donc }\quad \, \left \{ \begin{array}{ l}x_B = 2.L .\cos \frac {2\theta_1+\theta_2}2 \cos \frac {\theta_2}2 \\ y_B = 2.L .\sin \frac {2\theta_1+\theta_2}2 \cos \frac {\theta_2}2 \end{array} \right . \,\)

La suite du calcul se déroule en deux étapes :

- Dans un premier temps on calcul \(x_B^2+y_B^2\) pour faire apparaître des termes du type \(\cos^2 A +\sin^2 A\) et obtenir une expression indépendante de \(\theta_1\) :

  \(x_B^2+y_B^2 = 4.L^2.\cos^2 \frac {\theta_2} 2. \left(\cos^2 \frac {2\theta_1+\theta_2}2+\sin^2 \frac {2\theta_1+\theta_2}2 \right)= 4.L^2.\cos^2 \frac {\theta_2} 2\)

  Et comme \(\cos^2 \frac {\theta_2} 2 = \frac{1+\cos \theta_2}2\), on trouve \(x_B^2+y_B^2=2.L^2.(\cos \theta_2+1)\)

  Soit \(\cos \theta_2 = \frac 1 2 \left( \left(\frac {x_B} L \right)^2+\left(\frac {y_B} L \right)^2 \right)-1 \quad (1)\)

- Dans un second temps, on calcul le rapport entre les composantes \(x_B\) et \(y_B\) :

  \(\frac {y_B} {x_B} = \tan \frac {2\theta_1+\theta_2}2 \quad (2)\)

Conclusion : de \((1)\) et \((2)\) , on déduit : \(\boxed{\quad\left \{ \begin{array}{ l} \theta_2 = \arccos \left[\frac 1 2 \left( \left(\frac {x_B} L \right)^2+\left(\frac {y_B} L \right)^2 \right)-1 \right]\\ \theta_1=\arctan \left(\frac {y_B} {x_B} \right)- \frac{\theta_2} 2\end{array} \right .\quad }\)

### Exemple d'une chaîne cinématique fermée : micromoteur de modélisme

#### Hypothèse simplificatrice : problème plan

On suppose pour cette étude que le problème est plan, dans le plan : \((O,\vec x_0, \vec y_0)\).

On admettra que dans ces conditions, la liaison pivot glissant d'axe \((B, \vec z_3)\) entre le piston \(3\) et la bielle \(2\) soit simplifiée en une liaison pivot glissant d'axe \((B, \vec z_0)\).

L'hypothèse du problème plan permet de simplifier les torseurs cinématiques des liaisons suivantes :

- Liaison sphérique de centre A entre la bielle \(2\) et le vilebrequin \(1\) :

  \(\left\{ \mathcal V_{2/1} \right\}={\vphantom{\begin{Bmatrix} \omega_x & V_x \\ \omega_y & V_y \\ \omega_z & V_z\end{Bmatrix} }}_{A}\begin{Bmatrix} \omega_{x_{21}} & 0 \\ \omega_{y_{21}} & 0 \\ \omega_{z_{21}} & 0 \end{Bmatrix} _{(\vec {x_0}, \vec {y_0}, \vec {z_0})} \quad \underbrace{\longrightarrow}_{Pb \; plan : \;(O,\vec x_0, \vec y_0)} \quad\left\{ \mathcal V_{2/1} \right\}={\vphantom{\begin{Bmatrix} \omega_x & V_x \\ \omega_y & V_y \\ \omega_z & V_z\end{Bmatrix} }}_{A}\begin{Bmatrix} \phi & 0 \\ \phi & 0 \\ \omega_{{21}} & 0 \end{Bmatrix} _{(\vec {x_0}, \vec {y_0}, \vec {z_0})}\)

- Liaison pivot glissant d'axe \((B, \vec y_0)\) entre le piston \(3\) et le carter \(0\) :

  \(\left\{ \mathcal V_{3/0} \right\}={\vphantom{\begin{Bmatrix} \omega_x & V_x \\ \omega_y & V_y \\ \omega_z & V_z\end{Bmatrix} }}_{B}\begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ \omega_{30} & V_{B_{30}} \\ 0 & 0 \end{Bmatrix} _{(\vec {x_0}, \vec {y_0}, \vec {z_0})} \quad \underbrace{\longrightarrow}_{Pb \; plan : \;(O,\vec x_0, \vec y_0)} \quad\left\{ \mathcal V_{3/0} \right\}={\vphantom{\begin{Bmatrix} \omega_x & V_x \\ \omega_y & V_y \\ \omega_z & V_z\end{Bmatrix} }}_{B}\begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ \phi & \dot y\\ 0 & 0\end{Bmatrix} _{(\vec {x_0}, \vec {y_0}, \vec {z_0})}\)

- Liaison pivot glissant d'axe \((B, \vec z_0)\) entre le piston \(3\) et la bielle \(2\) :

  \(\left\{ \mathcal V_{3/2} \right\}={\vphantom{\begin{Bmatrix} \omega_x & V_x \\ \omega_y & V_y \\ \omega_z & V_z\end{Bmatrix} }}_{B}\begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \omega_{32} & V_{B_{32}} \end{Bmatrix} _{\underline{(\vec {x_0}, \vec {y_0}, \vec {z_0})}} \quad \underbrace{\longrightarrow}_{Pb \; plan : \;(O,\vec x_0, \vec y_0)} \quad\left\{ \mathcal V_{3/2} \right\}={\vphantom{\begin{Bmatrix} \omega_x & V_x \\ \omega_y & V_y \\ \omega_z & V_z\end{Bmatrix} }}_{B}\begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \omega_{32} & \phi\end{Bmatrix} _{\underline{(\vec {x_0}, \vec {y_0}, \vec {z_0})}}\)

#### Fermeture géométrique

- paramètre d'entrée : position linéaire \(y\) du piston \(3/0\)

- paramètre de sortie : position angulaire \(\theta\) du vilebrequin \(1/0\)

- Relation de fermeture géométrique :

\[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\vec 0 \quad \text{soit : } \quad R \, \vec x_1 + L \, \vec y_2 - y \, \vec y_0 = \vec 0\]

On projette cette expression : \(\left \{ \begin{array}{ l} \text{sur } \vec x_0 : R\,\cos(\theta) - L \, \sin(\alpha) = 0 \quad (1) \\ \text{sur } \vec y_0 : R\,\sin(\theta) + L \,\cos(\alpha) - y = 0 \quad(2)\end{array} \right .\)

Pour obtenir la loi entrée sortie, il faut relier les paramètres d'entrée et de sortie en éliminant le paramètre \(\alpha\). Une méthode efficace consiste à utiliser le fait que \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) =1\) :

\[ \left \{ \begin{array}{ l} (1) \Rightarrow (L \sin\alpha)^2 = (R \cos\theta)^2 \\ (2) \Rightarrow (L \cos\alpha)^2 = (y -R \sin\theta)^2 \end{array} \right . \quad \Rightarrow \quad L^2=(y -R \sin\theta)^2 +(R \cos\theta)^2 \]

d'où la loi entrée/sortie géométrique : \(\boxed{\quad y=\sqrt {L^2-(R \cos\theta)^2}+R \sin\theta \quad}\), valable pour \(R<L\).

Connaissant la longueur de la bielle \(L=37mm\) et le rayon du vilebrequin (=excentrique) \(R=8,7mm\), on peut ainsi tracer l'évolution du paramètre \(y\) pour un tour de vilebrequin :

#### Fermeture cinématique

Traduction de la fermeture cinématique de la chaîne :

\[ \left\{ \mathcal V_{3/2} \right\}+\left\{ \mathcal V_{2/1} \right\}+\left\{ \mathcal V_{1/0} \right\}+\left\{ \mathcal V_{0/3} \right\}=\left\{ \vphantom{V_{0/3} } 0 \right\}\]

Pour pouvoir additionner des torseurs, ceux-ci doivent être réduits au même point, par exemple au point A.

En tenant compte de l'hypothèse du problème plan dans le plan \((O,\vec x_0, \vec y_0)\), on obtient :

- \(\left\{ \mathcal V_{3/2} \right\}={\vphantom{\left \{ \begin{array}{c} \dot \theta \, \vec z_0\\ R.\dot \theta \vec x_1\end{array} \right \}}}_{B} \left \{ \begin{array}{c} - \dot \alpha \,\vec z_0\\ \vec 0\end{array} \right \}={\vphantom{\left \{ \begin{array}{c} \dot \theta \, \vec z_0\\ R.\dot \theta \vec x_1\end{array} \right \}}}_{A} \left \{ \begin{array}{c} - \dot \alpha \,\vec z_0\\\ -L. \dot \alpha \,\vec x_2 \end{array} \right \}\)

  car \(\overrightarrow{\Omega_{ 3/2}}= \overrightarrow{\Omega_{ 3/0}}-\overrightarrow{\Omega_{ 2/0}}=\vec 0 - \dot \alpha \vec z_0\)

  et \(\overrightarrow{V_{A \in 3/2}} = \overrightarrow{V_{B \in 3/2}}+ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{\Omega_{ 3/2}} = L.\vec y_2 \wedge - \dot \alpha \,\vec z_0=-L. \dot \alpha \,\vec x_2\)

- \(\left\{ \mathcal V_{2/1} \right\}={\vphantom{\left \{ \begin{array}{c} \dot \theta \, \vec z_0\\ R.\dot \theta \vec x_1\end{array} \right \}}}_{A} \left \{ \begin{array}{c} \omega_{21} \, \vec z_0\\ \vec 0\end{array} \right \}\)

- \(\left\{ \mathcal V_{1/0} \right\}={\vphantom{\left \{ \begin{array}{c} \dot \theta \, \vec z_0\\ R.\dot \theta \vec x_1\end{array} \right \}}}_{O} \left \{ \begin{array}{c} \dot \theta \, \vec z_0\\ \vec 0\end{array} \right \}={\vphantom{\left \{ \begin{array}{c} \dot \theta \, \vec z_0\\ R.\dot \theta \vec x_1\end{array} \right \}}}_{A} \left \{ \begin{array}{c} \dot \theta \, \vec z_0\\ R.\dot \theta \,\vec y_1\end{array} \right \}\)

  car \(\overrightarrow{V_{A \in 1/0}} = \overrightarrow{V_{O \in 1/0}} + \overrightarrow{AO} \wedge \overrightarrow{\Omega_{ 1/0}} = -R \vec x_1 \wedge \dot \theta \, \vec z_0\,= R.\dot \theta \, \vec y_1\)

- \(\left\{ \mathcal V_{0/3} \right\}=-\left\{ \mathcal V_{3/0} \right\}=-{\vphantom{\left \{ \begin{array}{c} \dot \theta \, \vec z_0\\ R.\dot \theta \vec x_1\end{array} \right \}}}_{B} \left \{ \begin{array}{c} \vec 0\\ \dot y \, \vec y_0\end{array} \right \}={\vphantom{\left \{ \begin{array}{c} \dot \theta \, \vec z_0\\ R.\dot \theta \vec x_1\end{array} \right \}}}_{A} \left \{ \begin{array}{c} \vec 0\\ -\dot y \, \vec y_0\end{array} \right \}\)

Ainsi la fermeture cinématique nous donne deux équations vectorielles :

\(\left \{ \begin{array}{ l} -\dot \alpha \, \vec z_0 + \omega_{21} \, \vec z_0 + \dot \theta \, \vec z_0 =\vec 0 \quad \,\,\textit{(relation issue de la composition des vecteurs taux de rotation)} \\ -L.\dot \alpha \, \vec x_2+R.\dot \theta \, \vec y_1-\dot y \, \vec y_0=\vec 0\quad \,\textit{(relation issue de la composition des vecteurs vitesse en A)}\end{array} \right .\)

- par projection de la relation de composition des vecteurs taux de rotation sur \(\vec z_0\) :\( \boxed{-\dot \alpha+\omega_{21}+\dot \theta= 0}\)

- par projection de la relation de composition des vecteurs vitesse :

  \(\left \{ \begin{array}{ l} \text{sur } \vec x_0 \,: \boxed{-L.\dot \alpha \cos \alpha-R.\dot \theta \sin \theta=0} \quad \quad \quad (3)\\ \text{sur } \vec y_0 \, : \boxed{- L.\dot \alpha \sin \alpha+R.\dot \theta \cos\theta - \dot y =0} \quad \, \,(4)\end{array} \right .\)

On peut constater qu'il s'agit des deux équations scalaires obtenues par dérivation des équations de la fermeture géométrique (équations \((1)\) et \((2)\) du paragraphe \(7.3.1\)).

##### Remarque :

Les équations obtenues par fermeture cinématique correspondent aux dérivées des équations obtenues par fermeture géométrique. Les deux approches amènent au même résultat mais la dérivation de la fermeture géométrique conduit généralement au résultat de façon plus efficace.