## Equiprojectivité

### Théorème

Soient deux points \(A\) et \(B\) appartenant à un même solide \(S_1\) en mouvement plan par rapport à un solide de référence \(S_0\) auquel on associe le repère \(\mathcal{R}_0(O_0, \vec x_0, \vec y_0, \vec z_0)\).

Soient \(\overrightarrow{V_{A\in S_1/S_0}}\) et \(\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}}\) les vecteurs vitesse respectifs de ces points dans le mouvement de \(S_1\) par rapport à \(S_0\).

La projection orthogonale de \(\overrightarrow{V_{A\in S_1/S_0}}\) sur \((AB)\) est égale à la projection orthogonale de \(\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}}\) sur \((AB)\).

\[\boxed{ \quad \overrightarrow{V_{A\in S_1/S_0}}\, . \, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}} \, . \, \overrightarrow{AB} \quad}\]

#### Complément : Démonstration

D'après le champ des vecteurs vitesse :

\(\begin{eqnarray*} \overrightarrow{V_{A\in S_1/S_0}}\, . \, \overrightarrow{AB} & = & \left( \overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}} +\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \right) \, . \, \overrightarrow{AB}\\ & = &\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}} \, . \, \overrightarrow{AB} \, + \, \left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \right) \, . \, \overrightarrow{AB} \\ & = &\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}} \, . \, \overrightarrow{AB} \, + \, \underbrace{\left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AB}\right)}_{=\vec 0} \, . \, \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \quad\textit{(cf. propriétés du produit mixte)}\\ &=&\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}} \, . \, \overrightarrow{AB}\end{eqnarray*}\)

### Application graphique

#### Méthode : Equiprojectivité

Connaissant :

- le vecteur vitesse en un point \(A\) de \(S_1\) en mouvement plan sur plan par rapport à \(S_0\) : \(\overrightarrow{V_{A\in S_1/S_0}}\),

- le support du vecteur vitesse en autre point B : \(\Delta \left( \overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}} \right)\),

on peut construire graphiquement le vecteur vitesse du point B :

1. On trace la droite \((AB)\).

2. On construit la projection de \(\overrightarrow{V_{A\in S_1/S_0}}\) sur \((AB)\).

3. On reporte cette projection au point B, du même coté du point.

4. On en déduit \(\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}}\) car \(\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}}\, . \, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{V_{A\in S_1/S_0}} \, . \, \overrightarrow{AB}\)

   (\(\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}}\) a la même projection sur \((AB)\) que \(\overrightarrow{V_{A\in S_1/S_0}}\)).

#### Méthode : Double équiprojectivité

Connaissant :

- le vecteur vitesse en un point \(A\) de \(S_1\) en mouvement plan sur plan par rapport à \(S_0\) : \(\overrightarrow{V_{A\in S_1/S_0}}\),

- le vecteur vitesse en un autre point \(B\) de \(S_1\) par rapport à \(S_0\) : \(\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}}\),

on peut construire graphiquement le vecteur vitesse de n'importe quel autre point \(C\) du solide \(S_1/S_0\) :

1. On trace les droites \((AC)\) et \((BC)\).

2. On applique deux fois l'équiprojectivité telle que décrite au paragraphe précédent :

   \(\overrightarrow{V_{C\in S_1/S_0}}\, . \, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{V_{A\in S_1/S_0}} \, . \, \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{V_{C\in S_1/S_0}}\, . \, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{V_{B\in S_1/S_0}} \, . \, \overrightarrow{BC}\)

3. On en déduit \(\overrightarrow{V_{C\in S_1/S_0}}\)