## Axe et centre instantanés de rotation (A.I.R.G et C.I.R.)

### Axe instantané de rotation

#### Définition : Axe et centre instantanés de rotation et de glissement

L'axe instantané de rotation d'un solide \(S_1\) par rapport à \(S_0\) (aussi appelé Axe Instantané de Rotation et de Glissement : A.I.R.G.) correspond à l'axe central du torseur cinématique de \(S_1\) par rapport à \(S_0\).

D'une façon générale, on peut considérer qu'à tout instant, un mouvement quelconque de \(S_1 / S_0\) est composé d'une rotation autour de cet axe et d'une translation rectiligne le long de cet axe.

Attention cependant, la position et l'orientation de cet axe évolue dans le temps.

#### Remarque :

Pour déterminer la position de cet axe, on utilise la définition de l'axe central d'un torseur appliqué au torseur cinématique :

Soit le torseur \(\{ \mathcal V_{S_1/S_0} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{\Omega(S_2/S_1)}\\\overrightarrow{V(M\in S_2/S_1)}\\\end{array}\right\}}}_{M} \left \{ \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \\ \overrightarrow{V_{M\in S_1/S_0}}\end{array} \right \}\)

L'axe instantané de rotation d'un solide \(S_1/S_0\) est l'ensemble des points C tels que :

\[ \boxed{\quad\overrightarrow{MC} = \underbrace{\frac { \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \wedge \overrightarrow{V_{M\in S_1/S_0}}} {\overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} ^2}}_{\overrightarrow{MI_{10}} \text{ sur la figure ci-dessous}}+ \lambda \, \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \quad ,\lambda \in \mathbb{R}\quad} \]

### CIR pour un solide en mouvement plan

#### Définition : Centre instantané de rotation (C.I.R)

Soient deux solides \(S_1\) et \(S_0\) en mouvement plan sur plan de normale \(\vec n\) .

A un instant \(t\), il existe un unique point noté \(I_{10}\), intersection de l'axe instantané de rotation et du plan de construction, tel que le solide \(S_1\) ait un mouvement de rotation autour de l'axe \((I_{10},\vec n)\) par rapport à \(S_0\).

Le point \(I_{10}\) est appelé Centre Instantané de Rotation (C.I.R.) de \(S_1 / S_0\) . On peut montrer qu'à tout instant \(t\), \(\boxed{\,\,\overrightarrow{V_{I_{10}\in S_1/S_0}} = \vec 0 \, \:}\)

#### Complément : Démonstration

Dans le cas particulier d'un mouvement plan, la direction des vecteurs vitesse et taux de rotation permet d'affirmer que l'invariant scalaire est nul.

\(\begin{eqnarray*} \text{Ainsi, } \quad \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \, . \,\overrightarrow{V_{M\in S_1/S_0}} = 0 &\Leftrightarrow & \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)}. \left( \overrightarrow{V_{I_{10}\in S_1/S_0}} +\overrightarrow{MI_{10}} \wedge \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \right) = 0\\ & \Leftrightarrow & \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)}. \overrightarrow{V_{I_{10}\in S_1/S_0}}=0 \quad (*)\end{eqnarray*}\)

Par définition de l'axe central, \(\overrightarrow{V_{I_{10}\in S_1/S_0}}\) et \(\overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)}\) sont colinéaires.

Ainsi, d'après \((*)\), si \(\overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)}\neq \vec 0\) alors \(\boxed{\,\,\overrightarrow{V_{I_{10}\in S_1/S_0}} = \vec 0\, \:}\)

#### Attention :

Dans le cas général, le CIR se déplace quand le mécanisme change de position.

### Applications graphiques du CIR

#### Intérêt du centre instantané de rotation (CIR)

Lorsque le CIR \(I_{10}\) d'un solide \(S_1\) en mouvement plan sur plan par rapport à un solide \(S_0\) est connu, tout se passe comme si à cet instant le solide \(S_1\) possédait un mouvement rotation de centre \(I_{10}\).

La méthode graphique présentée au paragraphe 2.2 dans le cadre du champ des vecteurs vitesse d'un solide en mouvement de rotation d'axe fixe peut alors être utilisée en considérant le point \(I_{10}\) comme centre de la rotation de \(S_1/S_0\) ,mais à cet instant uniquement.

Connaissant la position de \(I_{10}\) et un vecteur vitesse en un point quelconque de \(S_1\) en mouvement par rapport à \(S_0\), il est alors possible de construire le vecteur vitesse en tout point du \(S_1\) par rapport à \(S_0\).

#### Détermination de la position du centre instantané de rotation (CIR)

##### Méthode : Recherche du CIR

- Il suffit de connaître deux supports de vitesses dans un même mouvement (\(S_1/S_0\) ici) pour déterminer graphiquement la position du CIR : \(I_{10}\) est à l'intersection des perpendiculaires de ces supports passant par les points d'application des vecteurs vitesse.

##### Remarque :

- Dans le cas d'un solide animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, le CIR reste inchangé au cours du temps.

- Dans le cas d'un solide animé d'un mouvement de translation, le CIR existe mais il est « rejeté à l'infini ». Ceci s'explique en assimilant une translation à une rotation de rayon infini.

- A l'instant \(t\) correspondant à la position du mécanisme étudié, tout ce passe comme si les solides \(S_1\) et \(S_0\) étaient en rotation l'un par rapport à l'autre autour de leur CIR \(I_{10}\).

- Dans le cas du roulement sans glissement de \(S_1/S_0\) en un point \(I\), \(\overrightarrow{V_{I\in S_1/S_0}} = \vec 0\). Ainsi le point de contact \(I\) correspond au CIR de \(S_1/S_0\).

#### Théorème des trois plans glissants

##### Fondamental : Théorème des trois plans glissants

Soit \(S_1\), \(S_2\) et \(S_3\) trois solides en mouvement plan sur plan de normale \(\vec n\).

On note \(I_{21}\), \(I_{32}\) et \(I_{31}\) les centres instantanés de rotation des mouvements relatifs de \(S_2/S_1\), \(S_3/S_2\) et \(S_3/S_1\).

\[\boxed{ \text{ Les CIR des mouvements relatifs }I_{21}, I_{32} \text{ et } I_{31} \text{ sont alignés }}\]

##### Exemple : Application