## Vecteur accélération

### Définition

#### Définition : Vecteur accélération

Soit un solide \(S_1\) auquel on associe le repère \(\mathcal{R}_1(O_1,\vec x_1, \vec y_1, \vec z_1)\), en mouvement par rapport au solide \(S_0\) auquel on associe le repère \(\mathcal{R}_0(O_0,\vec x_0, \vec y_0, \vec z_0)\).

Soit un point \(M\) appartenant au solide \(S_1\). L'accélération de ce point \(M\) appartenant au solide \(S_1\) par rapport au solide \(S_0\) est défini par :

\(\boxed{ \quad\overrightarrow{\Gamma_{M\in S_1/\mathcal R_0}}(t) =\left[\dfrac{d\overrightarrow{V_{M\in S_1/S_0}}(t)}{dt}\right]_{\mathcal R_0}\quad }\)

### Applications

#### Mouvement de translation rectiligne

Soit \(M\), un point d'un solide \(S_1\) en translation rectiligne de direction \(\vec x_0\) par rapport au repère de référence \(\mathcal{R}_0\).

Nous avons vu que dans ce cas : \(\overrightarrow{V_{M\in S_1/\mathcal R_0}}(t) = x'(t) \, \vec x_0\)

Par définition du vecteur accélération , il vient :

\(\overrightarrow{\Gamma_{M\in S_1/S_0}}(t) = \left[\dfrac{d\overrightarrow{V_{M\in S_1/\mathcal R_0}}(t)}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0} = \left[\dfrac{d {x'(t) \vec x_0}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}\)

d'où : \(\boxed{\quad \overrightarrow{\Gamma(M\in S_1/\mathcal R_0)}(t) = x''(t) \, \vec x_0 \quad}\)

#### Mouvement de rotation autour d'un axe fixe

Soit \(M\), un point d'un solide \(S_1\) en rotation autour de l'axe fixe\((O,\vec z_0)\) par rapport au repère de référence \(\mathcal{R}_0\).

Nous avons vu que dans ce cas : \(\overrightarrow{V_{M\in S_1/S_0}}(t) = R \, \theta'(t) \; \vec e_\theta\)

Par définition du vecteur accélération , il vient :

\(\begin{eqnarray*} \, \overrightarrow{\Gamma_{M\in S_1/\mathcal R_0}}(t) & = & \left[\dfrac{d\overrightarrow{V_{M\in S_1/\mathcal R_0}}(t)}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}\\ & = & \left[\dfrac{d {R \, \theta'(t) \; \vec e_\theta}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}= R \, \left[\dfrac{d { \,\theta'(t) \; \vec e_\theta}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}\\ &=& R \, \left (\theta''(t) \; \vec e_\theta+\theta'(t) \;\left[\dfrac{d {\vec e_\theta}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0} \right)\end{eqnarray*}\)

Or \(\left[\dfrac{d {\vec e_\theta}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0} = \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \wedge \vec e_\theta = \theta'(t)\, \vec z_0 \, \wedge \, \vec e_\theta= - \theta'(t) \, \vec e_r\)

Ainsi,\( \boxed{\quad \overrightarrow{\Gamma_{M\in S_1/S_0}}(t) = R \, \theta''(t) \, \vec e_\theta \, - \, R \, \theta'(t)^2 \, \vec e_r \quad}\)

##### Remarque : Vocabulaire

Le calcul de \(\overrightarrow{\Gamma_{M\in S_1/\mathcal R_0}}(t)\) met en évidence deux termes :

- L'accélération tangentielle : \(\overrightarrow{\Gamma_{T \,(M\in S_1/\mathcal R_0)}}=R \, \theta''(t) \, \vec e_\theta\), tangent à la trajectoire comme son nom l'indique. Il traduit les variations de la norme du vecteur vitesse.

- L'accélération normale : \(\overrightarrow{\Gamma_{N \, (M\in S_1/\mathcal R_0)}}=- R \, \theta'(t)^2 \, \vec e_r\) ayant une direction perpendiculaire à celle du vecteur vitesse et orienté vers l’intérieur de la courbure de la trajectoire (vers le centre du cercle ici). Il traduit les variation de direction du vecteur vitesse.

### Champ des vecteurs accélération

Soient deux points \(A\) et \(B\) d'un solide \(S_1\) en mouvement par rapport à \(\mathcal R_0\). On rappelle la formule du champ des vecteurs vitesse :

\(\overrightarrow{V_{B\in S_1/\mathcal R_0}} =\overrightarrow{V_{A\in S_1/\mathcal R_0}} +\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)}\)

En dérivant cette expression, par définition du vecteur accélération, on obtient :

\(\overrightarrow{\Gamma_{B\in S_1/\mathcal R_0}} =\overrightarrow{\Gamma_{A\in S_1/\mathcal R_0}} +\left[\dfrac{d\overrightarrow{BA} }{dt}\right]_{\mathcal R_0} \wedge \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} +\overrightarrow{BA} \wedge \left[\dfrac{d\overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} }{dt}\right]_{\mathcal R_0} \quad (1)\)

\(A\) et \(B\) sont deux point du solide \(S_1\), considéré indéformable donc :

\(\left[\dfrac{d\overrightarrow{BA} }{dt}\right]_{\mathcal R_0}=\underbrace{\left[\dfrac{d\overrightarrow{BA} }{dt}\right]_{\mathcal R_1}}_{= \vec 0}+ \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \wedge \overrightarrow{BA}\)

Ainsi (1) devient :

\(\overrightarrow{\Gamma_{B\in S_1/\mathcal R_0}} =\overrightarrow{\Gamma_{A\in S_1/\mathcal R_0}} + \left(\overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \wedge \overrightarrow{BA} \right)\wedge \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} +\overrightarrow{BA} \wedge \left[\dfrac{d\overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} }{dt}\right]_{\mathcal R_0}\)

Ou encore : \(\boxed{\overrightarrow{\Gamma_{B\in S_1/\mathcal R_0}} =\overrightarrow{\Gamma_{A\in S_1/\mathcal R_0}} +\overrightarrow{BA} \wedge \left[\dfrac{d\overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} }{dt}\right]_{\mathcal R_0} +\underbrace{\left(\overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \wedge \overrightarrow{BA} \right)\wedge \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)}}_{\neq \vec 0}}\)

Les vecteurs accélération des points d'un solide ne vérifient pas la relation de changement de point du moment d'un torseur à cause de l'existence du dernier terme \(\left(\overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \wedge \overrightarrow{BA} \right)\wedge \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)}\). Ainsi, le champ des vecteurs accélération des points d'un solide indéformable n'est pas représentable par un torseur.

### Composition des vecteurs accélération

Soit un solide S en mouvement par rapport à deux repères \(\mathcal{R}_0(O_0, \vec x_0, \vec y_0, \vec z_0)\) et \(\mathcal{R}_1(O_1, \vec x_1, \vec y_1, \vec z_1)\), eux même en mouvement l'un par rapport à l'autre.

Soit un point \(M \in S\). Par définition du vecteur accélération :

\(\overrightarrow{\Gamma_{M\in S/\mathcal{R}_0}} =\left[\dfrac{d \overrightarrow{V_{M\in S/\mathcal{R}_0}}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}\)

Par composition des vecteurs vitesse : \(\quad\overrightarrow{V_{M,S/\mathcal{R}_0}}= \overrightarrow{V_{M,S/\mathcal{R}_1}}+\overrightarrow{V_{M,\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0}}\)

Donc : \(\overrightarrow{\Gamma_{M\in S/\mathcal{R}_0}} = \left[\dfrac{d\overrightarrow{V_{M \in S/\mathcal{R}_1}}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}+\left[\dfrac{d\overrightarrow{V_{M \in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0}}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}\)

Par application du champ des vecteurs vitesse :

\(\overrightarrow{V_{M\in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0}} =\overrightarrow{V_{O_1\in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0}} +\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}\wedge\overrightarrow{O_1M}\)

Donc \(\overrightarrow{\Gamma(M\in S/\mathcal{R}_0)} =\)

\(\underbrace{\left[\dfrac{d\overrightarrow{V_{M \in S/\mathcal{R}_1}}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}}_{(1)}+ \underbrace{\left[\dfrac{d\overrightarrow{V_{O_1 \in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0}}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}}_{(2)}+\underbrace{\left[\dfrac{d \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0} \wedge\overrightarrow{O_1M}}_{(3)}+\underbrace{\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}\wedge\left[\dfrac{d\overrightarrow{O_1M}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}}_{(4)}\)

(1) : \(\left[\dfrac{d\overrightarrow{V_{M \in S/\mathcal{R}_1}}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}=\underbrace{\left[\dfrac{d\overrightarrow{V_{M \in S/\mathcal{R}_1}}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_1}}_{= \overrightarrow{\Gamma_{M\in S/\mathcal{R}_1}} }+\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}\wedge\overrightarrow{V_{M\in S/\mathcal{R}_1}}\)

(2) : \(\left[\dfrac{d\overrightarrow{V_{O_1 \in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0}}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0} = \overrightarrow{\Gamma_{O_1\in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0}}\)

(4) : \(\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}\wedge\left[\dfrac{d\overrightarrow{O_1M}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0}=\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}\wedge \left( \underbrace{\left[\dfrac{d\overrightarrow{O_1M}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_1}}_{= \overrightarrow{V_{M\in S/\mathcal{R}_1}} }+\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}\wedge\overrightarrow{O_1M} \right)\)

Ainsi

\[\begin{align*} \underbrace{\overrightarrow{\Gamma(M\in S/\mathcal{R}_0)}}_{(I)} = & \underbrace{\overrightarrow{\Gamma(M\in S/\mathcal{R}_1)} }_{(II)}+\underbrace{2\, \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \overrightarrow{V(M\in S/\mathcal{R}_1)} }_{(III)}\\ &+ \underbrace{\overrightarrow{\Gamma(O_1\in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)}+\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \left(\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \overrightarrow{O_1M} \right)+\left[\dfrac{d \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0} \wedge\overrightarrow{O_1M}}_{(IV)}\\ \end{align*} \]

Le terme (IV) peut être simplifié en utilisant l'expression du champ des vecteurs accélération établi au paragraphe 9.3, :

\(\overrightarrow{\Gamma(O_1\in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)}+\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \left(\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \overrightarrow{O_1M} \right)+\left[\dfrac{d \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0} \wedge\overrightarrow{O_1M}\)

\(=\overrightarrow{\Gamma(O_1\in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)}+\overrightarrow{MO_1} \wedge \left[\dfrac{d \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}}{dt}\right]_{\mathcal{R}_0} +\left(\overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \overrightarrow{MO_1} \right) \wedge \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)}\)

\(=\overrightarrow{\Gamma(M\in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)}\)

Au final

\[\boxed{ \underbrace{ \overrightarrow{\Gamma(M\in S/\mathcal{R}_0)}} _{(I)} = \underbrace{ \overrightarrow{\Gamma(M\in S/\mathcal{R}_1)} } _{(II)} +\underbrace{ 2 \, \overrightarrow{\Omega(\mathcal{R}_1/ \mathcal{R}_0)} \wedge \overrightarrow{V(M\in S/\mathcal{R}_1)} } _{(III)} + \underbrace{ \overrightarrow{\Gamma(M\in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)}} _{(IV)} }\]

Chaque termes de l'équation obtenue porte un nom bien précis :

(I) : accélération absolue

(II) : accélération relative

(III) : accélération de Coriolis

(IV) : accélération d’entraînement.

#### Remarque :

Cette relation n'est pas à apprendre par cœur. Vous devez en revanche savoir de quoi est composée une accélération, identifier et nommer les différents termes du résultat. Vous devez donc savoir refaire ce calcul.