## Torseur cinématique

### Définition

Soient \(S_1\) et \(S_2\) deux solides en mouvement l'un par rapport à l'autre dans un repère \(R_0\). On peut définir dans ce cas :

- le vecteur taux de rotation \(\overrightarrow{\Omega(S2/S1)}\) permettant de caractériser les vitesses de rotations du solide \(S_2\) par rapport au solide \(S_1\) indépendamment du point considéré sur le solide \(S_2\). Il s'agit d'un champ de vecteur uniforme.

- Le vecteur vitesse d'un point \(M \in S_2\) par rapport à \(S_1\). Pour connaître le vecteur vitesse en un autre point P du solide \(S_2\), on utilise la formule du champ des vecteurs vitesse : \(\overrightarrow{V_{P\in S_2/S_1}} =\overrightarrow{V_{M\in S_2/S_1}} +\overrightarrow{PM} \wedge \overrightarrow{\Omega(S_2/S_1)}\). Cette formule correspond à la formule de changement de point dans un torseur.

Ainsi le vecteur vitesse en un point de \(S_2\) par rapport à \(S_1\) correspond donc au moment d'un torseur dont \(\overrightarrow{\Omega(S_2/S_1)}\) est la résultante. Ce torseur est appelé torseur cinématique de \(S_2\) par rapport à \(S_1\).

#### Définition : Torseur cinématique

On note \(\{ \mathcal V_{S_2/S_1} \}\) le torseur cinématique caractérisant le mouvement entre \(S_2\) et \(S_1\) et on a :

\[\boxed{\quad \{ \mathcal V_{S_2/S_1} \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{\Omega(S_2/S_1)}\\\overrightarrow{V(M\in S_2/S_1)}\\\end{array}\right\}}}_{M} \left \{ \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega(S_2/S_1)} \\ \overrightarrow{V_{M\in S_2/S_1}}\end{array} \right \} \quad}\]

- \(\overrightarrow{\Omega(S_2/S_1)}\) est la résultante du torseur cinématique.

- \(\overrightarrow{V_{M\in S_2/S_1}}\) est le moment du torseur cinématique réduit au point M.

#### Remarque :

Ainsi, les outils de calculs torsoriels présentés dans le cours correspondant s'appliquent au torseur cinématique :

- Propriétés et opérations : égalité de 2 torseurs, invariants d'un torseur, équiprojectivité du champ de moment, addition de deux torseurs et comoment de deux torseurs.

- Eléments centraux : point central, axe central et moment central.

### Composition des torseurs cinématiques

La composition des vecteur taux de rotation et la composition du champ des vecteurs vitesse en un point M permettent d'établir la loi de composition du torseur cinématique :

\[\boxed{ \quad \{ \mathcal V_{S_n/S_0} \}= \{ \mathcal V_{S_n/S_{n-1}} \} + \{ \mathcal V_{S_{n-1}/S_{n-2}} \} +...+ \{ \mathcal V_{S_1/S_0} \} \quad}\]

Ou encore :

\[\boxed{ \, {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{\Omega(S_2/S_1)}\\\overrightarrow{V_{M\in S_2/S_1}}\\\end{array}\right\}}}_{M} \left \{ \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega(S_n/S_0)} \\ \overrightarrow{V_{M\in S_n/S_0}}\end{array} \right \} = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{\Omega(S_2/S_1)}\\\overrightarrow{V_{M\in S_2/S_1}}\\\end{array}\right\}}}_{M} \left \{ \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega(S_n/S_{n-1})} \\ \overrightarrow{V_{M\in S_n/S_{n-1}}}\end{array} \right \}+ ...+ {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{\Omega(S_2/S_1)}\\\overrightarrow{V_{M\in S_2/S_1}}\\\end{array}\right\}}}_{M} \left \{ \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega(S_1/S_0)} \\ \overrightarrow{V_{M\in S_1/S_0}}\end{array} \right \} \quad }\]

#### Attention : Rappel - Erreur grave

On ne peut additionner les composantes vectorielles de deux torseurs (notations en ligne) que si les torseurs sont exprimés au même point de réduction, ici le point M.

On ne peut additionner les composantes scalaires de deux torseurs (notations en colonne) que si les torseurs sont exprimés au même point de réduction et dans la même base.