## Propriétés et opérations sur les torseurs

### Egalité de deux torseurs

La condition nécessaire et suffisante pour que deux torseurs soient égaux est qu'ils aient même résultante et que leurs moments soient égaux en un point.

### Invariants d'un torseur

Un torseur possède deux invariants :

- un invariant vectoriel : la résultante \(\vec R\) . Ainsi, quel que soit le point de réduction d'un torseur, la résultante est identique : \(\boxed{\vec R = \overrightarrow{cte}}\)

- un invariant scalaire : \(\vec R . \vec M_A\). Ainsi, \(\boxed{\forall P \in (E), \quad \vec R \, . \, \vec M_P = cte}\)

### Equiprojectivité

Le champ des moments d'un torseur est équiprojectif :

Ainsi : \(\boxed{\quad \forall (A,B) \in (E)^2, \quad \vec M_A \, . \, \overrightarrow{AB} = \vec M_B \, . \, \overrightarrow{AB} \quad }\)

### Addition de deux torseurs

On considère les 2 torseurs\(\{ T \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\\end{array}\right\}}}_{A} \left \{ \begin{array}{c} \vec R \\ \vec M_A\end{array} \right \}\) et\( \{ T' \} = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\\end{array}\right\}}}_{A} \left \{ \begin{array}{c} \vec{R'} \\ \vec {M'}_{A}\end{array} \right \}\)

On a alors : \(\boxed{\{ T \}+\{ T' \}={\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\\end{array}\right\}}}_{A} \left \{ \begin{array}{c} \vec R + \vec{R'}\\ \vec M_A + \vec{M'}_A \end{array} \right \}}\)

#### Attention : Erreur grave

On ne peut additionner les composantes vectorielles de deux torseurs (notations en ligne) que si les torseurs sont exprimés au même point de réduction.

On ne peut additionner les composantes scalaires de deux torseurs (notations en colonne) que si les torseurs sont exprimés au même point de réduction et dans la même base.

### Comoment de deux torseurs

Le comoment de deux torseurs \(\{T\}\) et \(\{T'\}\) exprimés au même point est un nombre réel correspondant à la somme des produits scalaires de la résultante d'un torseur par le moment de l'autre. Il se note \(\otimes\). Autrement dit :

\(\boxed{\{T\} \otimes \{T'\}= {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\\end{array}\right\}}}_{A} \left \{ \begin{array}{c} \vec R \\ \vec M_A\end{array} \right \} \otimes {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\\end{array}\right\}}}_{A} \left \{ \begin{array}{c} \vec{R'} \\ \vec {M'}_{A}\end{array} \right \}= \vec R \, . \,\vec {M'}_A \,+ \, \vec {R'} \, . \,\vec {M}_A }\)

Propriétés : le comoment de deux torseurs est

- commutatif : \(\{T\} \otimes \{T'\} =\{T'\} \otimes \{T\}\)

- indépendant du point de réduction : \(\{ T \} \otimes \{ T' \} =\vec R \, . \,\vec {M'}_A \,+ \, \vec {R'} \, . \,\vec {M}_A =\vec R \, . \,\vec {M'}_B \,+ \, \vec {R'} \, . \,\vec {M}_B\)