## Division vectorielle

### Définition : Division vectorielle

Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs orthogonaux et non nuls.

L'ensemble des vecteurs \(\vec x\) tels que \(\vec u \wedge \vec x= \vec v\) est tel que \(\boxed{\vec x = \lambda \vec u + \frac {\vec v \wedge \vec u} {\Vert \vec u \Vert ^2} \quad ,\forall \lambda \in \mathbb{R}}\)

### Complément : Démonstration

On recherche l'ensemble des vecteurs \(\vec x\) tels que \(\vec u \wedge \vec x= \vec v \quad (1)\).

Le problème n'a de sens que si les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont othogonaux

a) D'une part, on cherche une solution particulière \(\vec x_0\) de l'équation \((1)\) appartenant au plan \((\vec u , \vec x)\) telle que : \(\vec u.\vec x_0=\vec v.\vec x_0=0\)

\(\vec x_0\) est solution de \((1)\) si, et seulement si : \(\vec u \wedge \vec x_0= \vec v \quad (2)\)

On multiplie vectoriellement à gauche par \(\vec u\) : \(\vec u \wedge(\vec u \wedge \vec x_0)=\vec u \wedge \vec v\)

En appliquant la formule de Gibbs il vient :\(\underbrace{(\vec u . \vec x_0 )}_{= 0} \, \vec u - \underbrace{(\vec u . \vec u)}_{\Vert \vec u \Vert ^2}\, \vec x_0\) d'où : \(\vec x_0 = \frac {\vec v \wedge \vec u} {\Vert \vec u \Vert ^2} \quad (3)\)

b) D'autre part, par différence entre les équation (1) et (2), il vient : \(\vec u \wedge (\vec x-\vec x_0) = \vec 0\)

En supposant que \(\vec u\) et \((\vec x - \vec x_0)\) soient non nuls, cela signifie que \(\vec u\) et \((\vec x - \vec x_0)\) sont colinéaires.

Ainsi : \(\vec x-\vec x_0 = \lambda \, \vec u\) avec \(\lambda \in \mathbb R\)

Enfin, en utilisant l'équation \((3)\), il vient : \(\vec x = \lambda \,\vec u + \frac {\vec v \wedge \vec u} {\Vert \vec u \Vert ^2}\) avec \(\lambda \in \mathbb R\)