## Produit scalaire

### Définition

#### Définition : Produit scalaire

Le produit scalaire est le nombre réel (= scalaire) défini par :

\(\boxed{\quad\vec u . \vec v = \Vert \,\vec u\, \Vert \times \Vert \,\vec v \, \Vert \times \cos(\widehat{\vec u , \vec v})\quad}\)

#### Remarque : Produit scalaire à partir des composantes

Il est également possible de calculer un produit scalaire à partir des composantes des deux vecteurs à condition que ceux-ci soient exprimés dans une même base :

Avec \(\vec u= {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\c\\\end{array}\right\}}}_{(\vec x, \vec y, \vec z)}{ } \left | \begin{array}{c}x_u \\y_u \\z_u\end{array} \right .\; \text{et } \; \vec v= {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\c\\\end{array}\right\}}}_{(\vec x, \vec y, \vec z)}{ } \left | \begin{array}{c}x_v \\y_v \\z_v\end{array} \right .\), on peut écrire : \(\boxed{\vec u \, . \, \vec v = x_u \times x_v+y_u \times y_v+z_u \times z_v}\)

#### Fondamental : Application au calcul des composantes d'un vecteur :

En pratique, le produit scalaire permet d'exprimer les coordonnées d'un vecteur dans une base quelconque.

\(\text{Ici, en posant }\Vert \, \vec F \,\Vert =F\)

\(\text{on trouve :}\left \{\begin{array}{l}x_F = \vec F . \vec x = \Vert \, \vec F \, \Vert \times \Vert \, \vec x \, \Vert \times \cos(\widehat{\vec F , \vec x}) = F \, \cos(-\alpha)= F \, \cos(\alpha) \\y_F = \vec F . \vec y = \Vert \, \vec F \, \Vert \times \Vert \, \vec y \, \Vert \times \cos(\widehat{\vec F , \vec y}) = F \times \cos(\frac \pi 2 - \alpha) = F \, \sin(\alpha) \\z_F = \vec F . \vec z = \Vert \, \vec F \, \Vert \times \Vert \, \vec z \, \Vert \times\cos(\widehat{\vec F , \vec z}) = F \times \cos(\frac \pi 2) = 0\end{array}\right .\)

\(\text{d'où }, \boxed{ \;\vec F =F \, \cos(\alpha) \, \vec x + F \, \sin(\alpha) \, \vec y = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\c\\\end{array}\right\}}}_{(\vec x, \vec y, \vec z)}{ } \left | \begin{array}{c}F \, \cos(\alpha) \\F \, \sin(\alpha) \\0\end{array} \right .}\)

### Propriétés

- Symétrie : \(\vec u . \vec v = \vec v . \vec u\)

- Distributivité : \(\vec u . (\vec v +\vec w) = \vec u . \vec v + \vec u . \vec w\)

- Multiplication :\( \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2, \lambda \,\vec u . \mu\, \vec v =\lambda \mu \, \vec u . \vec v\)

- Carré scalaire : \(\vec v \,^2 = \vec v . \vec v = \Vert \,\vec v \,\Vert ^2\)

- Cas de nullité : \(\boxed{\vec u \, . \, \vec v = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \vec u = \vec 0 \quad \text{ou} \quad \vec v = \vec 0 \quad \text{ou} \quad \vec u \text{ et }\vec v \text{ orthogonaux}}\)