## Produit mixte

### Définition

#### Définition : Produit mixte

On appelle produit mixte le nombre réel défini par : \(\boxed{(\vec u, \vec v, \vec w) = \vec u .(\vec v \wedge \vec w)}\).

Géométriquement, \(\left| (\vec u, \vec v, \vec w ) \right|\) correspond au volume du parallélépipède défini par \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\).

### Propriétés

- Permutation circulaire : \(\boxed{ \; (\vec u, \vec v, \vec w) = (\vec w, \vec u, \vec v) = (\vec v, \vec w, \vec u) \; }\)

- Permutation de deux vecteurs :\((\vec u, \vec v, \vec w) = - \, (\vec v, \vec u, \vec w)\)

- Cas de nullité : \(\boxed{(\vec u, \vec v, \vec w) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad\left \{\begin{array}{l}\quad \quad \text{un des vecteurs est nul} \\\text{ou} \quad \text{deux des 3 vecteurs sont colinéaires} \\\text{ou} \quad \text{les 3 vecteurs sont coplanaires}\end{array}\right .}\)