## Eléments centraux d'un torseur

On suppose que le torseur \(\{ T \} = {\vphantom{\left\{\begin{array}{ccc}a\\b\\\end{array}\right\}}}_{A} \left \{ \begin{array}{c} \vec R \\ \vec M_A\end{array} \right \}\) est entièrement connu.

### Point central

#### Définition : Point central

Un point central est un point où le moment est colinéaire à la résultante :

\[\boxed{\text{ C point central de } \{ T \} \Leftrightarrow \exists \, k \in \mathbb{R} \, / \, \vec M_C = k \, \vec R \,}\]

### Axe central

#### Définition : Axe central

On appelle axe central d'un torseur le lieu géométrique des points centraux. On montre que ce lieu est une droite telle que :

\[ \text{Axe central de } \{T\} \text{ = ensemble des points C tels que : } \quad \boxed{\overrightarrow{AC} = \frac { \vec R \wedge \vec M_A} {\vec R ^2} + \lambda \, \vec R \quad ,\lambda \in \mathbb{R} \,}\]

#### Remarque :

En pratique, pour déterminer l'axe central : on calcule les coordonnées d'un point C pour une valeur particulière de \(\lambda\) (\(\lambda=0\) en général). L'axe central est la droite passant par le point C et de vecteur directeur \(\vec R\).

#### Complément : Démonstration

Soit \(C\) un point central de \(\{ T \}\). Par définition, \(\vec M_C = k \, \vec R\)

\[\begin{eqnarray*} \text{ Or } \quad \vec M_C= \vec M_A + \vec R \wedge \overrightarrow{AC} & \Rightarrow & \vec R \wedge \overrightarrow{AC} = \vec M_C- \vec M_A \\ & \Rightarrow & \overrightarrow{AC} = \frac {(\vec M_C- \vec M_A) \wedge \vec R} {\Vert \vec R \Vert ^2} +\lambda \vec R \quad ,\lambda \in \mathbb{R} \quad \textit{ (division vectorielle)}\\ & \Rightarrow & \overrightarrow{AC} = \frac 1 {\vec R^2} \left( \underbrace{\vec M_C \wedge \vec R}_{=\vec 0 } -\vec M_A\wedge \vec R\right)+\lambda \vec R \quad ,\lambda \in \mathbb{R}\\ & \Rightarrow & \overrightarrow{AC} = \frac { \vec R \wedge \vec M_A} {\vec R ^2} + \lambda \, \vec R \quad ,\lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}\]

### Moment central

#### Définition : Moment central

Il s'agit du moment d'un torseur exprimé en un point central :

\[\boxed{\text{ C point central de } \{ T \} \Rightarrow \vec M_C = \left ( \frac { \vec R \, . \,\vec M_A} {\vec R ^2} \right ) \vec R= \frac{\text{invariant scalaire}} {(\text{invariant vectoriel})^2} \text{invariant vectoriel} \,} \]

#### Complément : Démonstration

Soit \(C\) un point central de \(\{ T \}\). Par définition de l'axe central, \(\overrightarrow{AC} = \frac { \vec R \wedge \vec M_A} {\vec R ^2} + \lambda \, \vec R \quad ,\lambda \in \mathbb{R}\)

\[\begin{eqnarray*} \text{ Or } \quad \vec M_C= \vec M_A + \vec R \wedge \overrightarrow{AC} & \Rightarrow & \vec M_C= \vec M_A + \vec R \wedge \left( \frac { \vec R \wedge \vec M_A} {\vec R ^2} + \lambda \, \vec R \right) \quad ,\lambda \in \mathbb{R} \\ & \Rightarrow & \vec M_C= \vec M_A + \frac 1 {\vec R^2}\vec R \wedge \left( \vec R \wedge \vec M_A \right) + \underbrace{\vec R \wedge \lambda \vec R }_{=\vec 0} \\ & \Rightarrow & \vec M_C= \vec M_A + \frac 1 {\vec R^2} \left( (\vec R . \vec M_A)\, \vec R - (\vec R . \vec R)\, \vec M_A\right) \quad \textit{ (formule de Gibbs)} \\ & \Rightarrow & \vec M_C= \left ( \frac { \vec R \, . \,\vec M_A} {\vec R ^2} \right ) \vec R \end{eqnarray*}\]

### Propriétés des éléments centraux

- Egalité des moments centraux : le moment central est identique en tout point de l'axe central.

- Norme minimale : la norme du moment d'un torseur est minimale sur l'axe central. Autrement dit, la norme du moment central est la valeur minimale que peut prendre la norme du moment d'un torseur :\( \boxed{ \forall P \in (E), \quad \Vert \vec M_{\text{point} \, \,\text{central}}\Vert \leq \Vert \vec M_P \Vert\,}\)

- Conséquence : si le moment d'un torseur est nul en un point, alors ce point se trouve nécessairement sur l'axe central et l'invariant scalaire est également nul. Un tel torseur est appelé torseur à résultante ou glisseur.

- Forme canonique : Mettre un torseur sous forme canonique signifie le réduire en un point central, donc là où le moment est minimal.