C02_P2 : Analyse harmonique et étude des performances des SLCI

• Asymptote du lieu de transfert du gain :

Lorsque \(\omega \rightarrow 0\), \(G_{dB} \rightarrow 20 \log(K)\) : asymptote horizontale à l'origine.

Lorsque \(\omega \rightarrow +\infty\), \(G_{dB} \rightarrow 20 \log(K)+40.\log(\omega_0)-40 \log(\omega)\) : asymptote de pente -40 dB/décade qui croise l'asymptote horizontale au point d'abscisse \(\omega_C=\omega_0\)

• Asymptote du lieu de transfert du déphasage :

Lorsque \(\omega \rightarrow 0\), \(\varphi \rightarrow arg(K)=0^{\circ}\) : asymptote horizontale à l'origine.

Lorsque \(\omega \rightarrow +\infty\), \(\varphi \rightarrow -180^{\circ}\) : asymptote horizontale en l'infini.

• Point caractéristique de la courbe (pulsation de cassure) : \(\omega_C=\omega_0\)

\(\varphi \left(\omega_C=\omega_0\right)=\arg \left[\frac {K.\omega_0^2} {2.j.\xi.\omega_0^2}\right]=\arg \left[-j\frac {K} {2.\xi}\right]=-90^{\circ}\) donc pour \(\omega_C=\omega_0\), le déphasage est de -90° soit la moitié du déphasage en \(+\infty\).

Le dénominateur de la fonction de transfert possède 2 racines réelles (ou pôle réels), il se met sous la forme :

\(H(p)=\frac K {(1+\tau_1.p)(1+\tau_2.p)}\quad \text{ , avec : } \tau_1=-\frac 1 {p_1} \text{ et }\tau_2=-\frac 1 {p_2}\)

Dans le domaine fréquentiel, \(H(j\omega)=\frac K {(1+\tau_1 j \omega)(1+\tau_2 j\omega)}=\frac K {\left(1+j\frac \omega {\omega_1}\right)\left(1+j\frac \omega {\omega_2}\right)}\)

Et donc :

• Gain en dB :

  \(G_{dB}=20 \log |H(j\omega)| =20 \log \left|\frac K {1+\tau_1.j \omega} \right|+20 \log \left|\frac 1 {1+\tau_2.j \omega} \right|\)

• Déphasage : \(\varphi=\arg[H(j.\omega)]=\arg \left[ \frac K {1+\tau_1.j \omega} \right]+\arg \left[ \frac 1 {1+\tau_2.j \omega} \right]\)

Ainsi, le diagramme de Bode se construit comme la somme de deux systèmes du premier ordre de pulsations de cassure \(\omega_1 = \frac 1 {\tau_1}\) et \(\omega_2 = \frac 1 {\tau_2}\) et de gains statiques respectifs \(K\) et \(1\).

C'est un cas particulier du précédent avec \(\tau_1=\tau_2=\frac 1 {\omega_0}\).

Les asymptotes du diagramme de Bode du gain passent directement de 0 dB/décade à -40 dB/décade pour \(\omega=\omega_0\).

Les asymptotes du diagramme de Bode du déphasage passent directement de 0° à -180° pour \(\omega=\omega_0\).

En plus des caractéristiques communes aux trois régimes de fonctionnement, lorsque \(\xi<1\), le gain peut présenter un maximum, supérieur au gain statique \(K\). On parle alors de résonance.

• Résonance :

S'il existe, le maximum de la courbe du gain en dB est obtenu à la pulsation de résonance \(\omega_r\) telle que \(\frac{dG_{dB}}{d\omega}(\omega_r)=0\).

Or on montre que \(\frac{dG_{dB}}{d\omega}(\omega_r)=0 \quad \Rightarrow \quad 4.\omega_r^3-4\omega_0^2.\omega_r+8\xi^2.\omega_0^2.\omega_r=0\)

Soit \(\boxed{\omega_r=\omega_0.\sqrt{1-2\xi^2}}\), avec \(\xi<\frac {\sqrt 2}2 \approx 0,7\)

• Conclusions :

1. Si \(1>\xi \geq \frac {\sqrt 2}2\approx 0,7\) , la courbe de gain est toujours décroissante (il n'y a pas de résonance)

2. Si \(\xi < \frac {\sqrt 2}2\approx 0,7\) , la courbe de gain présente un maximum pour la pulsation de résonance \(\omega_r=\omega_0.\sqrt{1-2\xi^2}\)

   On définit dans ce cas un facteur de résonance ou coefficient de surtension :

   \(Q=\frac{\left|\, H(j.\omega_r)\, \right|}{\left|\, H(j.\omega)_{\omega \rightarrow 0}\, \right|}=\left|\frac{\omega_0^2}{\omega_0^2+2.j.\xi.\omega_0.\omega_r-\omega_r^2}\right|=\left(\,\frac {\omega_0^2} {\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega_r^2\right)^2+4.\xi^2.\omega_0^2.\omega_r^2}}\, \right)\)

   Ainsi,\(\omega_r=\omega_0.\sqrt{1-2\xi^2} \quad \Rightarrow \quad\boxed{Q=\frac 1 {2.\xi.\sqrt{1-\xi^2}}}\)

   Le facteur de résonance est souvent donné en dB et peut alors être mesuré sur le diagramme de Bode :