Présentation

La réponse harmonique (ou fréquentielle) d'un système est l'étude de la sortie en régime permanent, causée par des entrées sinusoïdales de fréquence variable.

Soit un système linéaire continu et invariant d'entrée \(e(t)\) et de sortie \(s(t)\). Il est régi par une équation différentielle d'ordre n à coefficients constants telle que :

\(a_0.s(t) \, +...+\, a_n.\frac {d^ns(t)}{dt^n} \quad = \quad b_0.e(t)\, +...+\,b_m.\frac {d^me(t)}{dt^m}\)

Lors d'une étude harmonique, encore appelée étude fréquentielle, le système est sollicité par une entrée sinusoïdale du type : \(e(t)=E_0.\sin (\omega.t)\). Le principe de l'étude repose sur le constat suivant :

Fondamental

Tout système dynamique régi par une équation différentielle d'ordre n à coefficients constants soumis à une excitation d'entrée \(e(t)\) de type sinusoïdale, donne une réponse \(s(t)\) en régime établi qui est de forme sinusoïdale, de même fréquence que l'entrée mais d'amplitude différente et déphasée.

\[\boxed{e(t)=E_0.\sin (\omega.t) \Rightarrow s(t)=S_0.\sin (\omega.t+\varphi)}\text{ , où } \left \{\begin{array}{l} E_0 \text{ : amplitude du signal d'entrée} \\ S_0 \text{ : amplitude du signal de sortie} \\ \varphi \text{ : déphasage} \\ \end{array} \right .\]

Dans une étude harmonique, on se place en régime permanent, lorsque \(s(t)=S_0.\sin (\omega.t+\varphi)\). La pulsation \(\omega\) est imposée par le signal d'entrée. Il suffit donc de déterminer \(S_0\) (ou le gain \(\frac {S_0}{E_0}\) ) et le déphasage \(\varphi\) pour connaître entièrement la réponse harmonique du système.