## Rapidité

### Rapidité dans le domaine temporel

#### Rappel :

La rapidité est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une variation brusque de la grandeur d'entrée.

Dans la pratique, deux paramètres permettent de quantifier la rapidité d'un système à partir de sa réponse indicielle : le temps de réponse à 5% noté \(t_{5\%}\) et le temps de montée noté \(t_m\).

### Rapidité dans le domaine de Laplace

#### Fondamental : Système du premier ordre

Le temps de réponse à 5% d'un système du premier ordre de fonction de transfert \(H(p)=\frac{K}{1+\tau\,p}\) est tel que :\(t_{5\%}=3\tau\)

Ainsi, plus la constante de temps \(\tau\) est petite, plus le système est rapide.

#### Fondamental : Système du deuxième ordre

Le temps de réponse à 5% d'un système du deuxième ordre de fonction de transfert \(H(p)=\frac{K}{1+\frac{2\xi}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}\) se lit sur l'abaque des temps de réponse réduits.

- La réponse la plus rapide d'un système du second ordre est obtenue pour un coefficient d'amortissement \( \xi\approx0,7\). Dans ce cas, \(t_{5\%}=\frac{3} {\omega_0}\) et la réponse temporelle possède un premier dépassement d'exactement 5%.

- La réponse la plus rapide sans dépassement d'un système du second ordre est obtenue pour un coefficient d'amortissement\(\xi=1\). Dans ce cas, \(t_{5\%}\approx\frac{5} {\omega_0}\) .

### Rapidité dans le domaine fréquentiel

La rapidité d'un système dans le domaine fréquentiel est définie par sa bande passante. On distingue :

- la bande passante à -3dB en boucle fermée ;

- la bande passante à 0dB en boucle ouverte.

Lorsque l'on parle de bande passante sans indication supplémentaire, il s'agit le plus souvent de celle à -3dB en boucle fermée.

#### Bande passante à -3dB en boucle fermée

##### Définition : Bande passante à -3dB

La bande passante à -3dB est l'intervalle de fréquence (ou de pulsation) pour lequel le gain en dB de la FTBF subit une atténuation inférieure à 3dB de sa valeur maximale.

La valeur de 3dB correspond à une amplitude de sortie diminuée d'un facteur \(\sqrt 2\) par rapport à la valeur maximale.

##### Remarque :

La majorité des systèmes asservis se comporte comme des «passe-bas », c'est à dire qu'ils réagissent conformément aux consignes à basse fréquence et ne parviennent plus à suivre les mouvement rapides à haute fréquence. Dans ce cas, la bande passante s'étend alors de 0 à la pulsation de coupure, caractérisée par la limite à -3dB.

##### Fondamental :

Plus la bande passante est grande, plus le système est rapide :

- Pour un système d'ordre 1, \(\omega_{-3dB}=\omega_c=\dfrac{1}{\tau}\). Ainsi, lorsque la bande passante augmente, \(\tau\) et donc \(t_{5\%}\) diminuent.

- Pour un système d'ordre 2, et pour un coefficient d'amortissement \(\xi\) donné, la bande passante est liée à la pulsation propre du système non amorti \(\omega_0\), et \(t_{5\%}.\omega_0=cste\). Ainsi lorsque \(\omega_0\) augmente, la bande passante augmente et \(t_{5\%}\) diminue.

#### Bande passante à 0dB en boucle ouverte

##### Définition : Bande passante à 0dB

La bande passante à 0 dB d'un système correspond à l'intervalle de fréquence (ou de pulsation) pour lequel le gain de la FTBO est supérieur ou égal à 0dB. Elle correspond donc directement à \(\omega_{0dB}\).

#### Lien entre bande passante à -3dB en boucle fermée et bande passante à 0 dB en boucle ouverte

La bande passante à -3dB d'un système asservi (en boucle fermée) est étroitement liée à la bande passante à 0dB de sa FTBO. En effet, en considérant un système à retour unitaire non perturbé :

\[FTBF(j\omega)=\frac{FTBO(j\omega)}{1+FTBO(j\omega)}\]

Le gain de la FTBF à la pulsation de coupure à 0dB de la FTBO (\(\omega_{0dB}\)) vaut :

\[ \begin{eqnarray*} G_{dB\textrm{FTBF}}(\omega_{0dB}) & = &20\log \left| FTBF(\omega_{0dB})\right| \\ &=&20\log \left| FTBO(\omega_{0dB})\right| -20\log \left| 1+FTBO(\omega_{0dB})\right| \end{eqnarray*} \]

Or \(\left| FTBO(\omega_{0dB})\right|=1\) par définition et donc \(FTBO(\omega_{0dB})=e^{j\varphi_{0dB}}=\cos(\varphi_{0dB})+j\sin(\varphi_{0dB})\) où \(\varphi_{0dB}\) correspond au déphasage de la FTBO à la pulsation \(\omega_{0dB}\).

Ainsi :

\[ \begin{eqnarray*} G_{dB\textrm{FTBF}}(\omega_{0dB}) & = & -20\log \sqrt{\left[ 1+\cos(\varphi_{0dB})\right]^2+\left[ \sin(\varphi_{0dB})\right]^2} \\ & = & -10\log\left[2+2\cos(\varphi_{0dB})\right] \\ & = & -3\text{dB}-10 \log\left[1+\cos(\varphi_{0dB})\right] \end{eqnarray*} \]

Pour des raisons de marge de stabilité, la marge de phase de la FTBO n'est jamais trop éloignée de -90° si bien que le gain en dB de la FTBF est proche de -3dB. Ainsi :

\[\text{Pulsation de coupure à 0 dB de la FTBO : }\boxed{\,\omega_{0dB} \approx \omega_{-3dB}\,} \text{ : Pulsation de coupure à -3 dB de la FTBF }\]

##### Remarque :

La figure précédente montre les diagrammes de Bode des gains d'une FTBO et de la FTBF associée. En plus de vérifier que \(\omega_{0dB} \approx \omega_{-3dB}\), on peut remarquer que pour des pulsations élevées, la FTBF tend vers la FTBO.