## Réponse harmonique des systèmes fondamentaux

### Réponse harmonique d'un système à action proportionnelle (gain pur)

La transmittance s'écrit : \(H(p) = K\)

Soit : \(H(j.\omega)=K\)

- Gain en dB : \(G_{dB}=20 \log \left|\, H(j.\omega)\, \right|=20 \log K\)

- Déphasage : \(\varphi=\arg[H(j.\omega)]=\arg[K]=0^{\circ}\)

### Réponse harmonique d'un système intégrateur

La transmittance s'écrit : \(H(p) = \frac K p\)

Soit : \(H(j.\omega)=\frac K {j.\omega}=-\frac K \omega .j\)

- Gain en dB : \(G_{dB}=20 \log \left|\, -\frac K \omega .j\, \right|=20 \log(K) -20 \log(\omega)\) → droite de pente -20dB/décade

- Déphasage : \(\varphi=\arg[H(j.\omega)]=\arg[-\frac K \omega .j]=-90^{\circ}\)

### Réponse harmonique d'un système du premier ordre

Un système d'ordre 1 (de classe 0) a pour fonction de transfert : \(H(p) = \frac K {1+\tau.p}\)

Soit \(H(j.\omega)= \frac K {1+j.\tau.\omega}=\frac {K.(1-j.\tau.\omega)} {(1+j.\tau.\omega).(1-j.\tau.\omega)}=\frac K {1+\tau^2.\omega^2}.(1-j.\tau.\omega)\) et \(\left| H(j.\omega)\right|=\frac K {\sqrt{1+\tau^2.\omega^2}}\)

- Gain en dB : \(G_{dB}=20 \log \left(\,\frac K {\sqrt{1+\tau^2.\omega^2}}\, \right)=20 \log(K) -20 \log\sqrt{1+\tau^2.\omega^2}\)

- Déphasage : \(\varphi=\arg[H(j.\omega)]=\arctan \left( \frac{\text{Im} \,H(j.\omega)}{\text{Re} \, H(j.\omega)}\right)=\arctan (-\tau.\omega)=-\arctan (\tau.\omega)\)

- Asymptote du lieu de transfert du gain :

Lorsque \(\omega \rightarrow 0\), \(G_{dB} \rightarrow 20 \log(K)\) : asymptote horizontale à l'origine.

Lorsque \(\omega \rightarrow +\infty\), \(G_{dB} \rightarrow 20 \log(K)-20 \log(\tau.\omega)\) : asymptote de pente -20 dB/décade qui croise l'asymptote horizontale au point d'abscisse \(\boxed{\omega_C=\frac 1 \tau}\)

- Asymptote du lieu de transfert du déphasage :

Lorsque \(\omega \rightarrow 0\), \(\varphi \rightarrow 0^{\circ}\) : asymptote horizontale à l'origine.

Lorsque \(\omega \rightarrow +\infty\), \(\varphi \rightarrow -90^{\circ}\) : asymptote horizontale en l'infini.

- Point caractéristique de la courbe (pulsation de cassure) : \(\omega_C=\frac 1 \tau\)

\(G_{dB}\left(\omega_C=\frac 1 \tau\right)=20 \log(K)-20 \log(\sqrt 2)\simeq 20 \log(K)-3dB\) donc \(\boxed{\text{ pour } \omega_C=\frac 1 \tau\text{ , la perte est de -3dB.}}\)

\(\varphi \left(\omega_C=\frac 1 \tau\right)=-\arctan(1)=-45^{\circ}\) donc \(\boxed{\text{ pour }\omega_C=\frac 1 \tau\text{ , le déphasage est de -45°}}\) soit la moitié du déphasage en \(+\infty\).

### Réponse harmonique d'un système du second ordre

Un système d'ordre 2 (de classe 0) a pour fonction de transfert : \(H(p) =\frac K {1+\frac{2\xi}{\omega_0}.p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}=\frac{K.\omega_0^2}{p^2+2.\xi.\omega_0.p+\omega_0^2}\)

Soit \(H(j.\omega)= \frac {K.\omega_0^2} {\omega_0^2+2.j.\xi.\omega_0.\omega-\omega^2}=\frac {K.\omega_0^2} {\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4.\xi^2.\omega_0^2.\omega^2}.\left(\omega_0^2-\omega^2-2.j.\xi.\omega_0.\omega\right)\)

- Gain en dB :

  \(G_{dB}=20 \log \left| \frac {K.\omega_0^2} {\omega_0^2+2.j.\xi.\omega_0.\omega-\omega^2}\right|= 20 \log \left(\,\frac {K.\omega_0^2} {\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4.\xi^2.\omega_0^2.\omega^2}}\, \right)\)

  Soit \(G_{dB}=20 \log(K)+20 \log(\omega_0^2) -20 \log\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4.\xi^2.\omega_0^2.\omega^2}\)

- Déphasage : \(\varphi=\arg[H(j.\omega)]\) et \(\tan \varphi(\omega)=\left( \frac{\text{Im} \,H(j.\omega)}{\text{Re} \, H(j.\omega)}\right)=-\left(\frac{2.\xi.\omega_0.\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\right)\)

Comme dans le cas de l'analyse temporelle des système du second ordre, on distingue donc 3 régimes de fonctionnement correspondant à des pôles réels (\(\xi>1\)), complexes (\(\xi<1\)) ou à un pôle double (\(\xi=1\)). Toutefois, certaines caractéristiques sont communes à ces 3 régimes de fonctionnement. Elles sont données ci-après.

#### Caractéristiques communes aux 3 régimes de fonctionnement

- Asymptote du lieu de transfert du gain :

Lorsque \(\omega \rightarrow 0\), \(G_{dB} \rightarrow 20 \log(K)\) : asymptote horizontale à l'origine.

Lorsque \(\omega \rightarrow +\infty\), \(G_{dB} \rightarrow 20 \log(K)+40.\log(\omega_0)-40 \log(\omega)\) : asymptote de pente -40 dB/décade qui croise l'asymptote horizontale au point d'abscisse \(\omega_C=\omega_0\)

- Asymptote du lieu de transfert du déphasage :

Lorsque \(\omega \rightarrow 0\), \(\varphi \rightarrow arg(K)=0^{\circ}\) : asymptote horizontale à l'origine.

Lorsque \(\omega \rightarrow +\infty\), \(\varphi \rightarrow -180^{\circ}\) : asymptote horizontale en l'infini.

- Point caractéristique de la courbe (pulsation de cassure) : \(\omega_C=\omega_0\)

\(\varphi \left(\omega_C=\omega_0\right)=\arg \left[\frac {K.\omega_0^2} {2.j.\xi.\omega_0^2}\right]=\arg \left[-j\frac {K} {2.\xi}\right]=-90^{\circ}\) donc pour \(\omega_C=\omega_0\), le déphasage est de -90° soit la moitié du déphasage en \(+\infty\).

#### Régime apériodique (système amorti) : ξ>1

Le dénominateur de la fonction de transfert possède 2 racines réelles (ou pôle réels), il se met sous la forme :

\(H(p)=\frac K {(1+\tau_1.p)(1+\tau_2.p)}\quad \text{ , avec : } \tau_1=-\frac 1 {p_1} \text{ et }\tau_2=-\frac 1 {p_2}\)

Dans le domaine fréquentiel, \(H(j\omega)=\frac K {(1+\tau_1 j \omega)(1+\tau_2 j\omega)}=\frac K {\left(1+j\frac \omega {\omega_1}\right)\left(1+j\frac \omega {\omega_2}\right)}\)

Et donc :

- Gain en dB :

  \(G_{dB}=20 \log |H(j\omega)| =20 \log \left|\frac K {1+\tau_1.j \omega} \right|+20 \log \left|\frac 1 {1+\tau_2.j \omega} \right|\)

- Déphasage : \(\varphi=\arg[H(j.\omega)]=\arg \left[ \frac K {1+\tau_1.j \omega} \right]+\arg \left[ \frac 1 {1+\tau_2.j \omega} \right]\)

Ainsi, le diagramme de Bode se construit comme la somme de deux systèmes du premier ordre de pulsations de cassure \(\omega_1 = \frac 1 {\tau_1}\) et \(\omega_2 = \frac 1 {\tau_2}\) et de gains statiques respectifs \(K\) et \(1\).

#### Régime apériodique critique (amortissement critique) : ξ=1

C'est un cas particulier du précédent avec \(\tau_1=\tau_2=\frac 1 {\omega_0}\).

Les asymptotes du diagramme de Bode du gain passent directement de 0 dB/décade à -40 dB/décade pour \(\omega=\omega_0\).

Les asymptotes du diagramme de Bode du déphasage passent directement de 0° à -180° pour \(\omega=\omega_0\).

#### Régime pseudo-périodique (système sous-amorti) : ξ<1

En plus des caractéristiques communes aux trois régimes de fonctionnement, lorsque \(\xi<1\), le gain peut présenter un maximum, supérieur au gain statique \(K\). On parle alors de résonance.

- Résonance :

S'il existe, le maximum de la courbe du gain en dB est obtenu à la pulsation de résonance \(\omega_r\) telle que \(\frac{dG_{dB}}{d\omega}(\omega_r)=0\).

Or on montre que \(\frac{dG_{dB}}{d\omega}(\omega_r)=0 \quad \Rightarrow \quad 4.\omega_r^3-4\omega_0^2.\omega_r+8\xi^2.\omega_0^2.\omega_r=0\)

Soit \(\boxed{\omega_r=\omega_0.\sqrt{1-2\xi^2}}\), avec \(\xi<\frac {\sqrt 2}2 \approx 0,7\)

- Conclusions :

1. Si \(1>\xi \geq \frac {\sqrt 2}2\approx 0,7\) , la courbe de gain est toujours décroissante (il n'y a pas de résonance)

2. Si \(\xi < \frac {\sqrt 2}2\approx 0,7\) , la courbe de gain présente un maximum pour la pulsation de résonance \(\omega_r=\omega_0.\sqrt{1-2\xi^2}\)

   On définit dans ce cas un facteur de résonance ou coefficient de surtension :

   \(Q=\frac{\left|\, H(j.\omega_r)\, \right|}{\left|\, H(j.\omega)_{\omega \rightarrow 0}\, \right|}=\left|\frac{\omega_0^2}{\omega_0^2+2.j.\xi.\omega_0.\omega_r-\omega_r^2}\right|=\left(\,\frac {\omega_0^2} {\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega_r^2\right)^2+4.\xi^2.\omega_0^2.\omega_r^2}}\, \right)\)

   Ainsi,\(\omega_r=\omega_0.\sqrt{1-2\xi^2} \quad \Rightarrow \quad\boxed{Q=\frac 1 {2.\xi.\sqrt{1-\xi^2}}}\)

   Le facteur de résonance est souvent donné en dB et peut alors être mesuré sur le diagramme de Bode :

\[Q_{dB}=20.\log\frac 1 {2.\xi.\sqrt{1-\xi^2}}\]

##### Remarque :

A partir d'un lieu de transfert expérimental correspondant à l'allure d'un système d'ordre 2, on peut procéder à une identification en utilisant :

- Les basses pulsations pour trouver le gain statique du système.

- L'intersection des asymptotes pour trouver la pulsation propre du système non amorti.

- Le facteur de résonance pour trouver le coefficient d'amortissement s'il y a résonance, ou bien la "distance algébrique" en \(dB\) de l'asymptote horizontale \(20 \log K\) à la courbe de gain pour \(\omega=\omega_0\) (cette distance est égale à \(-20\log(2\xi)\)).