## Résolution par la méthode des complexes

Pour résoudre l'équation différentielle avec des variables sinusoïdales, on utilise les écritures complexes des sinusoïdes : \(e(t)=E_0.\text e ^{j.\omega.t}\) et \(s(t)=S_0.\text e ^{j.(\omega.t+\varphi)}\) avec \(j^2=-1\)

L'équation différentielle, après calcul des dérivées, s'écrit alors :

\[a_0.s(t)+...+a_n.(j.\omega)^n.s(t)=b_0.e(t)+...+b_m.(j.\omega)^m.e(t)\]

On obtient d'une part : \(\frac{s(t)}{e(t)}=\frac{b_0+...+b_m.(j.\omega)^m}{a_0+...+a_n.(j.\omega)^n}=H(j.\omega)\)

D'autre part, \(\frac{s(t)}{e(t)}=\frac{S_0}{E_0}.\text e ^{j.\varphi}\) donc les deux grandeurs recherchées \(\frac {S_0}{E_0}\)(gain) et \(\varphi\) (déphasage) se déterminent grâce au module et à l'argument de \(H(j.\omega)\).

\[H(j.\omega)=\frac{S_0}{E_0}.\text e ^{j.\varphi} \quad \Rightarrow \quad \left \{\begin{array}{l} \text{Gain : } \quad \left| \frac{S_0}{E_0} \right|= \left| H(j.\omega) \right| \quad (\textit{module}) \\ \text{Déphasage : } \quad \varphi= arg \left( H(j.\omega) \right) \quad (\textit{argument}) \\ \end{array} \right .\]