## Précision

### Rappels

#### Erreur en régime permanent

On considère un système asservi modélisé par le schéma-blocs suivant :

#### Rappel :

La précision qualifie l'aptitude du système à atteindre la valeur visée. Elle est caractérisée par l'erreur entre la consigne et la valeur effectivement atteinte par la grandeur de sortie en régime permanent, à condition que les grandeurs soient comparables (mêmes unités).

\[\textit{Erreur en régime permanent : } \boxed{ \: \varepsilon_\infty= \lim_{t\rightarrow +\infty } \left[ \, e(t)-s(t) \, \right]} \]

#### Rappel : Ecart en régime permanent

Le calcul de l'erreur nécessite que les grandeurs d'entrée \(e(t)\) et de sortie \(s(t)\) soient comparables. Si ce n'est pas le cas, on utilise plutôt l'écart \(\epsilon(t)=u_e(t)-u_s(t)\) en sortie du comparateur en régime permanent.

\[\textit{Ecart en régime permanent : } \boxed{ \epsilon_{\infty} = \lim_{t\rightarrow +\infty } \left[ \, u_e(t)-u_s(t) \, \right]} \]

### Cas d'étude

On considère désormais un système à deux entrées : consigne et perturbation, modélisé par le schéma-blocs suivant :

Afin que l'écart en sortie de comparateur soit l'image de l'erreur, on choisit un transducteur tel que \(T(p)=R(p)\). On peut dans ce cas modéliser le système par le schéma-blocs à retour unitaire suivant :

La réponse totale \(S(p)\) s’obtient en superposant la réponse \(S_e(p)\) à une consigne \(E(p)\) et la réponse \(S_p(p)\) à une perturbation \(P(p)\) :

\[S(p)=\underbrace{\frac{H(p)G(p)}{1+H(p)G(p)}E(p)}_{\substack{\text{Réponse }\,S_e(p)\\ \text{à une consigne }E(p)}}+\underbrace{\frac{G(p)}{1+H(p)G(p)}P(p)}_{\substack{\text{Réponse }\,S_p(p)\\ \text{à une perturbation }P(p)}}\]

En remarquant que \(H(p)\cdot G(p)=FTBO(p)\), on peut réécrire la réponse totale S(p) sous la forme suivante :

\[S(p)=\underbrace{\frac{FTBO(p)}{1+FTBO(p)}E(p)}_{\substack{\text{Réponse }\,S_e(p)\\ \text{à une consigne }E(p)}}+\underbrace{\frac{G(p)}{1+FTBO(p)}P(p)}_{\substack{\text{Réponse }\,S_p(p)\\ \text{à une perturbation }P(p)}}\]

On rappelle qu'il existe deux modes de fonctionnement des systèmes asservis :

- le mode suiveur, ou encore en poursuite, lorsque la sortie suit la consigne en l'absence de perturbations ;

- le mode régulateur, ou en régulation, lorsque la sortie suit une consigne constante (généralement nulle) tout en rejetant les perturbations.

La précision d'un système se détermine séparément en poursuite et en régulation.

### Précision en poursuite

La précision en poursuite est déterminée en supposant que la perturbation soit nulle : \(P(p)=0\).

L'erreur en poursuite est donnée par :

\[\varepsilon_p(p)=\left[E(p)-S(p)\right]_{P(p)=0}=E(p)-\frac{FTBO(p)}{1+FTBO(p)}E(p) \quad \Rightarrow \, \varepsilon_p(p)=\frac{E(p)}{1+FTBO(p)} \]

On pose alors :

\[FTBO(p)=\dfrac {K_{BO}\,N(p)} {p^\alpha \, D(p)} \quad\text{avec } \left \{\begin{array}{l} K_{BO} \text{ : le gain statique de la FTBO} \\ \alpha \text{ : la classe de la FTBO} \\ N(0)=D(0)=1 \\ \end{array} \right .\]

Ainsi :

\[\varepsilon_p(p)=\frac{p^\alpha\,D(p)\,E(p)}{p^\alpha\,D(p)+K_{BO}\,N(p)}\]

Enfin, d'après le théorème de la valeur finale :

\[\varepsilon_{p\infty}=\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\varepsilon_p(t)=\lim\limits_{p\rightarrow0}p\,\varepsilon_p(p)=\lim\limits_{p\rightarrow0}\dfrac{p^{\alpha+1}\,E(p)}{p^\alpha+K_{BO}}\]

#### Fondamental : Erreur en poursuite

L'erreur en poursuite d'un système est donnée par :

\[\boxed{\,\varepsilon_{p\infty}=\lim\limits_{p\rightarrow0}\dfrac{p^{\alpha+1}\,E(p)}{p^\alpha+K_{BO}}\,} \quad \text{ avec } \left \{\begin{array}{l} K_{BO} \text{ : le gain statique de la FTBO} \\ \alpha \text{ : la classe de la FTBO (= nombre d'intégration)} \\ \end{array} \right .\]

Le tableau suivant donne l'erreur statique et l'erreur de traînage en fonction de la classe de la FTBO :

Conclusion :

La présence d'intégrateurs dans la FTBO peut annuler l'erreur, et améliore donc la précision. La précision est donc directement liée à la classe de la FTBO.

### Précision en régulation

La précision en régulation est déterminée en supposant que la consigne soit nulle : \(E(p) = 0\).

L'erreur en régulation est donnée par :

\[\varepsilon_r(p)=\left[E(p)-S(p)\right]_{E(p)=0}\quad \Rightarrow\, \varepsilon_r(p)=-\frac{G(p)\,P(p)}{1+H(p)G(p)}\]

On pose cette fois-ci :

\[\begin{array}{c} H(p)=\dfrac {K_1\,N_1(p)} {p^{\alpha_1} \, D_1(p)} \quad\text{et}\quad G(p)=\dfrac {K_2\,N_2(p)} {p^{\alpha_2} \, D_2(p)} \\ \\ \quad\text{avec } \left \{\begin{array}{l} K_1\text{ et } K_2 \text{ : les gains statiques de } H(p) \text{ et } G(p) \\ \alpha_1 \text{ : la classe de } H(p) \quad \textit{(=nombre d'intégrations avant la perturbation)} \\ \alpha_2 \text{ : la classe de } G(p) \quad \textit{(=nombre d'intégrations après la perturbation)} \\ N_1(0)=N_2(0)=D_1(0)=D_2(0)=1 \\ \end{array} \right . \end{array} \]

Ainsi :

\[\varepsilon_r(p)=-\frac{p^{\alpha_1}\,K_2\,N_2(p)\,D_1(p)}{p^{\alpha_1+\alpha_2} \, D_1(p) \, D_2(p)+K_1 \, K_2 \, N_1(p) \, N_2(p)} P(p)\]

Enfin, d'après le théorème de la valeur finale :

\[\varepsilon_{r\infty}=\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\varepsilon_r(t)=\lim\limits_{p\rightarrow0}p\,\varepsilon_r(p)=\lim\limits_{p\rightarrow0}-\frac{p^{\alpha_1+1}\,K_2}{p^{\alpha_1+\alpha_2} +K_1 \, K_2 } P(p)\]

#### Fondamental : Erreur en régulation

Pour une perturbation de la forme \(P(p)=\frac{P_0}{p^r}\) :

\[ \boxed{\,\varepsilon_{r\infty}=\lim\limits_{p\rightarrow0}-\frac{p^{\alpha_1-r+1}\,K_2 \,P_0}{p^{\alpha_1+\alpha_2} +K_1 \, K_2 } \,}\]

Trois cas sont alors à distinguer :

- si \(\alpha_1<r-1\), alors \(\varepsilon_{r\infty}=-\infty\) ;

- si \(\alpha_1=r-1\), alors \(\varepsilon_{r\infty}=-\dfrac{K_2\,P_0}{K_1\,K_2+1}\) si \(\alpha_1+\alpha_2=0\) ou \(\varepsilon_{r\infty}=-\dfrac{P_0}{K_1}\) si \(\alpha_1+\alpha_2>0\) ;

- si \(\alpha_1>r-1\), alors \(\varepsilon_{r\infty}=0\).

Conclusions :

- Seules les intégrations en amont de la perturbation ont une influence sur la précision, elles peuvent annuler l'erreur en fonction de la nature de la perturbation.

- En particulier, pour une perturbation en échelon, un seul intégrateur en amont de la perturbation est suffisant pour annuler l'erreur. Ce point sera particulièrement pris en compte dans le choix du correcteur, objet du programme de deuxième année.

- Un système qui est précis en régulation est dit robuste.

### Précision dans le cas général

Pour un système à deux entrées (consigne et perturbation), l'erreur dans le cas général \(\varepsilon_{T}\) s'obtient en superposant l'erreur de poursuite \(\varepsilon_{p}\) et l'erreur de régulation \(\varepsilon_{r}\) :

\[\boxed{\, \varepsilon_{T}=\varepsilon_{p}+\varepsilon_{r} \,}\]

#### Remarque : Généralisation pour un système à n entrées

Pour un système à \(n\) entrées, l'erreur se détermine alors en superposant les erreurs obtenues vis-à-vis de chacune des \(n\) entrées.