## Fonction de transfert (ou transmittance) d'un SLCI

Ci-dessous, l'équation différentielle générale à laquelle répondent les SLCI (voir chapitre précédent), reliant la grandeur d'entrée \(e(t)\) à la sortie \(s(t)\) du système (\(n\geq m\)):

\[a_0.s(t) \, + \, a_1.\frac {ds(t)}{dt}\, + \, a_2.\frac {d^2s(t)}{dt^2}+...+\, a_n.\frac {d^ns(t)}{dt^n} \quad = \quad b_0.e(t)\, + \, b_1.\frac {de(t)}{dt}+...+\,b_m.\frac {d^me(t)}{dt^m}\]

On peut calculer la transformation de Laplace des membres de gauche et de droite, qui, grâce à la linéarité de la transformation de Laplace, s'écrit :

\[a_0.\mathcal{L}\left[s(t)\right]+ a_1.\mathcal{L}\left[\frac {ds(t)}{dt}\right] +...+a_n.\mathcal{L}\left[\frac {d^ns(t)}{dt^n}\right] =b_0.\mathcal{L}\left[e(t)\right]+ ...+b_m.\mathcal{L}\left[\frac {d^me(t)}{dt^m}\right]\]

Par application du théorème de dérivation (avec conditions initiales nulles) :

\[\begin{eqnarray*} a_0.S(p) \, + \, a_1.p.S(p) \, + +...+\, a_n.p^n.S(p) \quad & = & \quad b_0.E(p)\, + \, b_1.p.E(p)+...+\,b_m.p^m.E(p)\\ \\ \Rightarrow S(p). \left[a_0+a_1.p+...+a_n.p^n\right] \quad & = & \quad E(p) \left[b_0+b_1.p+...+b_m.p^m\right] \end{eqnarray*} \]

Enfin :

\[\boxed{H(p) =\frac{S(p)}{E(p)} = \frac{ b_0+b_1.p+...+b_m.p^m}{a_0+a_1.p+...+a_n.p^n}}\]

### Fondamental : Fonction de transfert

La fonction \(H\) ainsi obtenue est appelée transmittance ou encore fonction de transfert du système.

Il s'agit d'une fraction rationnelle (rapport de deux polynômes) en \(p\) (la variable de Laplace) et de coefficients \(a_i\) et \(b_j\) réels.

La sortie \(S(p)\) est alors définie comme le produit de l'entrée \(E(p)\) par la fonction de transfert \(H(p)\).

Le comportement d'un système peut être entièrement défini à partir de sa fonction de transfert, plus précisément à partir des pôles (racines du dénominateur) et des zéros (racines du numérateur) de sa fonction de transfert H(p).

### Complément : Notions d'ordre et de classe

Dans le cas où certains coefficients \(a_i, b_j\) sont nuls (dont \(a_0\)), la fonction de transfert \(H(p)\) d'un système linéaire continu invariant peut se mettre sous la forme :

\[H(p) =\frac{S(p)}{E(p)} = \frac 1 {p^\alpha} \,\frac{ \lambda_0+\lambda_1.p+...+\lambda_l.p^l}{\mu_0+\mu_1.p+...+\mu_k.p^k} \quad \text{ avec } \lambda_0\neq 0 \text{ et } \mu_0\neq 0\]

Le degré du dénominateur : \(\alpha+k\) représente l'ordre du système.

La puissance \(\alpha\) de la variable de Laplace \(p\) isolée au dénominateur représente la classe du système.