## Modélisation par équation différentielle

D'une manière générale, un système linéaire continu invariant peut être modélisé grâce aux lois de la physique par une équation différentielle, linéaire et à coefficients constants reliant la sortie s(t) à l'entrée e(t) de la forme :

\[a_0.s(t) \, + \sum \limits_{k=1}^{n} a_k.\frac {d^ks(t)}{dt^k} \quad = \quad b_0.e(t)\, + \sum \limits_{k=1}^{m} b_k\frac {d^ke(t)}{dt^k}\]

Dans un système causal, c'est-à-dire lorsque la cause précède l'effet (tout système physique) : \(n \geq m\). Ainsi le degré de dérivation le plus élevé sur la sortie correspond à l'ordre du système. On parle de système d'ordre n.

Deux modèles de systèmes fondamentaux sont couramment rencontrés et étudiés dans le cadre de la PTSI : les systèmes du premier ordre et les systèmes du second ordre.

### Cas d'un système du premier ordre

La forme générale de l'équation différentielle caractéristique d'un système du premier ordre simple est :

\[\boxed{\, s(t) \, + \, \tau.\frac {ds(t)}{dt}\,= \,K.e(t) \,} \quad \text{ avec : } \left \{\begin{array}{l} \tau \text{ : constante de temps du système } (\textit{en seconde }) \\ K \text{ : gain statique } \left( \textit{unité de K = } \frac { \textit{unité } [s]} {\textit{unité }[e]} \right) \\ \end{array} \right .\]

#### Exemple : Circuit R,C

On considère le circuit électrique ci-contre. On cherche à connaître le comportement du système vis-à-vis de différents types de signaux.

D'après la loi des mailles, on a : \(e(t ) = u_R(t )+ u_C(t )\)

Connaissant la relation de comportement aux bornes d'un condensateur : \(i (t ) = C\,\frac {d u_C(t)}{d t}\) , et celle d'une résistance : \(u_R (t ) = R . i (t )\), on a donc :

\[e(t ) = R.i(t)+ u_C(t ) \quad \Longleftrightarrow \quad e(t ) = R.C\frac {d u_C(t)}{d t}+ u_C(t )\]

On cherche donc à résoudre l'équation différentielle suivante :

\[ u_C(t )+R.C\frac {d u_C(t)}{d t} = e(t)\]

On détermine alors la constante de temps du système : \(\tau=R.C\) et le gain statique : \(K =1\).

### Cas d'un système du second ordre

La forme générale de l'équation différentielle caractéristique d'un système du second ordre simple est :

\[\boxed{\, s(t) \, + \, \frac{2.\xi}{\omega_0}\frac {ds(t)}{dt} + \,\, \frac{1}{\omega_0^2}\frac {d^2s(t)}{dt^2}= \,K.e(t) \,} \quad \text{ avec : } \left \{\begin{array}{l} \omega_0\text{ : pulsation propre du système non amorti} \\ \quad \quad \textit{ (en rad/s)}\\ \xi\text{ : coefficient d'amortissement }\\ \quad \quad (\xi>0 \textit{ et sans unité)}\\ K \text{ : gain statique}\left( \textit{unité de K = } \frac { \textit{unité } [s]} {\textit{unité }[e]} \right) \\ \end{array} \right . \]

#### Exemple : Circuit R,L,C

On considère le circuit électrique R,L,C ci-contre. On cherche à connaître le comportement du système vis à vis de différents types de signaux.

D'après la loi des mailles, on a : \(e(t ) = u_R(t )+u_L(t)+ u_C(t )\)

Connaissant la relation de comportement aux bornes d'une bobine : \(u_L (t ) = L\,\frac {d i(t)}{d t}\) , et celle d'une résistance : \(u_R (t ) = R . i (t )\), on a donc :

\[e(t ) = R . i (t )+L\,\frac {d i(t)}{d t}+ u_C(t )\]

En utilisant alors la relation de comportement aux bornes d'un condensateur : \(i (t ) = C\,\frac {d u_C(t)}{d t}\) , on obtient l'équation différentielle suivante :

\[u_C(t )+R . C\,\frac {d u_C(t)}{d t}+L.C\,\frac {d^2 u_C(t)}{d t^2} =e(t ) \]

On détermine alors la pulsation propre du système non amorti \(\omega_0\), le coefficient d'amortissement \(\xi\) et le gain statique \(K\).

\[\left \{\begin{array}{l} \frac {2 \xi}{\omega_0}=R.C \\ \frac 1 {\omega_0^2} = L.C \\ K=1 \\ \end{array} \right . \quad \Rightarrow \quad \left \{\begin{array}{l} \omega_0=\frac 1 {\sqrt{L.C}} \\ \xi=\frac R 2 \sqrt{\frac C L}\\ K=1 \\ \end{array} \right .\]