## Transformée de Laplace

### Définition

#### Fondamental : Transformée de Laplace

Soit une fonction \(f\) telle que \(f(t)=0\) pour tout \(t<0\) (fonction causale). La transformée de Laplace de cette fonction est définie par :

\[\boxed{\quad\mathcal{L}\left[f(t)\right] = F(p) =\int_{0}^{+\infty} f(t)\, \text{e}^{-p.t} \, \mathrm{d}t\quad }\]

#### Remarque :

1. La transformée de Laplace permet de passer du domaine temporel au domaine dit de Laplace.

2. F(p) existe si l'intégrale existe et converge. Dans les cas rencontrés en SII, les conditions d'existence et de convergence seront réunies.

3. La variable \(p\) est un nombre complexe (en \(s^{-1}\)).

4. La transformée de Laplace se note par une majuscule quand cela est possible : \(\omega(t) \rightarrow \Omega(p)\) ,\(v(t)\rightarrow V(p)\). Cependant, on confond parfois les notations si la grandeur originelle est déjà en majuscule : \(C(t)\rightarrow C(p)\) pour les couples par exemple.

#### Exemple : Calcul d'une transformée de Laplace

Soit \(f (t)=K.u(t), \, \forall t>0 \text{ et } K \in \mathbb{R}\).

\[\mathcal{L}\left[f(t)\right]=\mathcal{L}\left[K.u(t)\right]=\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} K.\, \text{e}^{-p.t} \, \mathrm{d}t = K.\int_{0}^{+\infty} \, \text{e}^{-p.t} \, \mathrm{d}t=K.\left[ -\frac {1}{p} \text{e}^{-p.t}\right]^{+\infty}_{0} =\frac K p\]

### Transformée de Laplace des fonctions usuelles

\(f(t)\) | \(F(p) = \mathcal{L}\left[f(t)\right]\)
--- | ---
\(\quad \delta(t)\) (Dirac) | \(\quad 1\)
\(\quad K.u(t) \quad(K\in \mathbb R)\) | \(\quad \frac {K}{p}\)
\(\quad t.u(t)\) | \(\quad \frac {1}{p^2}\)
\(\quad t^n.u(t)\quad(n\in \mathbb N)\) | \(\quad \frac {n !}{p^{n+1}}\)
\(\quad \text{e}^{-a.t}.u(t) \quad(a\in \mathbb R)\) | \(\quad \frac {1}{p+a}\)
\(\quad t^n.\text{e}^{-a.t}.u(t)\quad(n\in \mathbb N, a\in \mathbb R)\) | \(\quad \frac {n !}{(p+a)^{n+1}}\)
\(\quad \sin (\omega.t).u(t) \quad(\omega\in \mathbb R)\) | \(\quad \frac {\omega}{p^2+\omega^2}\)
\(\quad \cos (\omega.t).u(t)\quad(\omega\in \mathbb R)\) | \(\quad \frac {p}{p^2+\omega^2}\)

### Propriétés de la transformée de Laplace

Linéarité | \(\quad \mathcal{L}\left[(a.f(t)+ b.g(t)).u(t)\right]=a.F(p)+b.G(p)\)
Dérivée | \(\quad \mathcal{L}\left[\frac{d f(t)}{dt}.u(t)\right]=p.F(p)-f(0^+)\)
Dérivée seconde | \(\quad \mathcal{L}\left[\frac{d^2 f(t)}{dt^2}.u(t)\right]=p.\left[p.F(p)-f(0^+)\right]-f'(0^+)\)
Intégration | \(\quad \mathcal{L}\left[\left(\int_{0}^{t} f(u)\, \mathrm{d}u\right).u(t)\right]=\frac{F(p)}{p}+\frac{g(0^+)}{p}\) où \(g(t)=\int_{0}^{t} f(u)\, \mathrm{d}u\)
Théorème du retard | Soit \(f\) une fonction causale et \(\tau >0\), alors : \(\quad \mathcal{L}\left[f(t-\tau)\right]=\text{e}^{-\tau.p}.F(p)\)
Théorème de la valeur initiale | Soit \(f\) une fonction causale telle que \(\lim\limits_{t\rightarrow 0^+ }\, f(t)\) existe, alors : \(\quad f(0^+)=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+ } \, f(t) =\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \,p.F(p)\)
Théorème de la valeur finale | Soit \(f\) une fonction causale telle que \(\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\, f(t)\) existe, alors : \(\quad f(\infty)=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } \, f(t) =\lim\limits_{p\rightarrow 0^+ } \,p.F(p)\)

#### Attention :

La transformée de Laplace d'un produit n'est pas le produit des transformées de Laplace (ce serait comme écrire que l'intégrale du produit est le produit des intégrales).