## Signaux tests

Pour étudier le comportement d'un système asservi d'un point de vue expérimental et tester ses performances, on soumet ce système à des signaux tests. On utilise majoritairement les modèles de signaux décrits ci-après.

### Échelon unité u(t) (ou fonction d'Heaviside)

Cette fonction modélise un signal qui passe de \(0\) à \(1\) en une durée infiniment courte et qui reste ensuite à \(1\) .

\[\boxed{ \; u(t) = \left \{\begin{array}{l} 0 \quad , \forall t \in \left]-\infty, 0 \right[ \\ 1 \quad , \forall t \in \left[ 0, +\infty \right[ \\ \end{array}\right . }\]

On peut également décider d'imposer un échelon d'amplitude quelconque \(e_0 \neq 1\). Dans ce cas la fonction d'entrée s'écrit \(e(t) = e_0 . u(t)\)

La réponse d'un système à un échelon s'appelle une réponse indicielle.

#### Remarque : Fonction causale

Pour rendre causale une fonction quelconque, on la multiplie par l'échelon unité : \(u(t)\).

Exemple : « sinus causal » = \(\sin(\omega t) . u(t)\) .

Les théorèmes étudiés par la suite ne s'appliqueront que pour des fonctions causales. Si une fonction n'est pas causale, il suffira donc de la multiplier par \(u(t)\).

### Impulsion unitaire et impulsion de Dirac

On appelle impulsion unitaire la fonction \(f\) définie par :

\[\boxed{ \quad f(t) = \left \{\begin{array}{l} \frac 1 \lambda \quad , \forall t \in [0,\lambda]\\ 0 \quad , \forall t \notin [0,\lambda] \\ \end{array}\quad, \lambda >0\right .}\]

On obtient l'impulsion de Dirac en faisant tendre \(\lambda\) vers \(0\). Ceci revient à générer un signal d'amplitude infinie pendant un temps nul. Ce signal est utilisé pour modéliser les chocs que peut recevoir un système.

La réponse d'un système à une impulsion de Dirac s'appelle une réponse impulsionnelle.

### Rampe

Le signal rampe est utilisé pour caractériser la capacité d'un système à suivre une consigne non constante. La fonction rampe correspond mathématiquement à la primitive d'un échelon.

\(\boxed{ \quad f(t) = a . t . u(t) \quad }\)

### Signal sinusoïdal

Cette entrée sert à caractériser le comportement fréquentiel d'un système.

\(\boxed{ \quad f(t) = \sin(\omega.t).u(t) \quad }\) où \(\omega\) représente la pulsation et s'exprime en \(rad/s\).